1 nov. 2009

Teorema de Booth sobre la mediana de un triángulo rectángulo

El siguiente ejercicio que nos envían nos permitirá utilizar el teorema de las medianas de Apolonio (del ejercicio anterior) para redescubrir el teorema de Booth también sobre las medianas de un triángulo.

Como siempre primero graficaremos nuestro ejercicio:

En el ejercicio anterior, que podemos verlo en el siguiente link http://distribuyendoconocimiento.blogspot.com/2009/10/teorema-de-apolonio-sobre-la-media-de.html, dedujimos el teorema de Apolonio, que adaptado a nuestro gráfico lo podemos representar con la siguiente formula:
a2 + b2 = (2)(mc2) + (c2/2)
Por el teorema de Apolonio se cumple que:
a2 + b2 = (2)(mc2) + (c2/2)
c2 + b2 = (2)(ma2) + (a2/2)
a2 + c2 = (2)(mb2) + (b2/2)
Sumando estas tres ecuaciones obtenemos:
2(a2 + b2 + c2) = 2 (ma2 + mb2 + mc2) + (1/2)(a2 + b2 + c2)
Agrupando términos tendremos:
3(a2 + b2 + c2) = 4 (ma2 + mb2 + mc2) ……………..I
Este es el teorema de las medianas de Booth:
3(a2 + b2 + c2) = 4 (ma2 + mb2 + mc2)
Pero, sabemos que en un triángulo rectángulo se cumple que:
mc = c/2 y a2 + b2 = c2
Reemplazando estos valores en I:
3(c2 + c2) = 4 [ma2 + mb2 + (c/2)2]
6c2 = 4 (ma2 + mb2) + c2
5c2 = 4 (ma2 + mb2)
Por datos de nuestro ejercicio:
ma = 5 m
mb = √40 m
Reemplazando valores:
5c2 = 4 [(5)2 + (√40)2]
5c2 = 4 (65)
c2 = 4 (13)
c = (2)(√13) m
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HUGO, Victor