19 nov. 2009

Inecuaciones con valor absoluto

El siguiente ejercicio nos permitirá analizar las inecuaciones con valor absoluto.

Expresa en forma de desigualdad y de intervalo los números que verifican:
a) |x|<5
b) |x|≥1
c) |x-1|≤3
d) |3-2x|>1

Recordemos que para cualquier número positivo a y cualquier expresión algebraica f(x), la solución de la desigualdad |f(x)| < a son todos aquellos números que satisfacen la relación:
- a < f(x) < a

a) |x| < 5 ===> - 5 < x < 5 ===> ]-5, 5[

Este es un intervalo no acotado y su representación en la recta numérica es de la siguiente forma:

Recordemos que para cualquier número positivo a y cualquier expresión algebraica f(x), la solución de la desigualdad |f(x)| ≥ a son todos aquellos números que satisfacen la relación:
- a ≥ f(x) ≥ a

b) |x| ≥ 1 ===> -1 ≥ x ≥ 1 ===> ]-∞, -1] U [1, ∞[

Esta es la unión de dos intervalos semiabiertos y su representación en la recta numérica es de la siguiente forma:

Recordemos que para cualquier número positivo a y cualquier expresión algebraica f(x), la solución de la desigualdad |f(x)| ≤ a son todos aquellos números que satisfacen la relación:
- a ≤ f(x) ≤ a

c) |x-1| ≤ 3 ===> -3 ≤ x - 1 ≤ 3

Si sumamos una unidad a la inecuación tendremos:
-3 + 1 ≤ x - 1 + 1 ≤ 3 + 1
-2 ≤ x ≤ 4 ===> [-2,4]

Este es un intervalo cerrado y su representación en la recta numérica es de la siguiente forma:

Recordemos que para cualquier número positivo a y cualquier expresión algebraica f(x), la solución de la desigualdad |f(x)| > a son todos aquellos números que satisfacen la relación:
- a > f(x) > a

d) |3–2x| > 1 ===> -1 > 3 – 2x > 1

Si restamos 3 unidades a la inecuación tendremos:
–1 – 3 > 3 – 3 – 2x > 1  – 3
– 4 > – 2x > – 2

Recordemos la siguiente regla de las inecuaciones:

Al multiplicar o dividir por una misma cantidad negativa los miembros de una inecuación, se obtiene otra equivalente cambiando el sentido de las desigualdades.

Ahora, multiplicamos toda la inecuación por – 1:
(– 1)(– 4) > (– 1) (– 2x) > (– 1) (– 2)
4 < 2x < 2

Finalmente, dividimos la inecuación entre 2, lo que nos da:
2 < x < 1 ===> 1 > x > 2

Por lo tanto:
|3–2x| > 1 ===> 1 > x > 2  ===> ]-∞, 1[ U ]2. ∞[

Esta es la unión de dos intervalos no acotados y su representación en la recta numérica es de la siguiente forma:

Si tuvieran alguna consulta adicional u otro ejercicio en el que necesiten ayuda, mi e-mail es jwzq2005@gmail.com con gusto los atenderé.

El hombre se diferencia del animal en que bebe sin sed y ama sin tiempo.
ORTEGA Y GASSET, José

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