9 nov. 2009

Progresión aritmética y sumatoria de términos

El siguiente ejercicio que nos envían nos permitirá aprender sobre las progresiones aritméticas, su término general y su sumatoria de términos.
¿Cuál es a suma de los 60 primeros números terminados en 4?
Lo que se trata de hallar es la sumatoria de la siguiente progresión aritmética:
4 + 14 + 24 + 34 + ….. + t60
Esta es una progresión aritmética de:
n = 60 términos
donde el primer termino es:
t1 = 4
y distancia entre términos consecutivos (razón aritmética) es:
r = 10
Recordemos que el término general de una sucesión aritmética esta dada por la expresión:
tn = t1 + r(n - 1)
Con los datos que tenemos procedamos a encontrar el último término de nuestra progresión aritmética:
t60 = 4 + (10)(60 - 1)
t60 = 4 + (10)(59)
t60 = 594
Recordemos también que el valor (sumatoria de términos) de una progresión aritmética viene dada por la expresión:
Sn = (t1 + tn)(n/2)
Sí reemplazamos los datos que tenemos en esta expresión obtendremos la suma de los 60 términos de nuestra sucesión aritmética:
S60 = (4 + 594)(60/2)
S60 = (598)(30)
S60 = 17940
También podemos hallar una expresión particular para este caso combinando las expresiones de tn y Sn:
Sn = (t1 + tn)(n/2)
Sn = [t1 + t1 + r(n - 1)](n/2)
Sn = [2t1 + r(n - 1)](n/2)
Si reemplazamos los valores de r y t1 obtendremos la siguiente expresión genérica del valor de la serie aritmética para este caso:
Sn = [(2)(4) + (10)(n - 1)](n/2)
Sn = [8 + 10n - 10)](n/2)
Sn = [10n - 2)](n/2)
Sn = [5n - 1)](n)
Con esta expresión también hubiéramos hallado el mismo resultado anterior.
Si tuvieran alguna consulta adicional u otro ejercicio en el que necesiten ayuda, mi e-mail es jwzq2005@gmail.com con gusto los atenderé.
La guerra vuelve estúpido al vencedor y rencoroso al vencido.
NIETZSCHE, Friedrich