3 nov. 2009

Rectas tangentes a una circunferencia dada desde un punto

¡Hola amigos!
Aquí estamos nuevamente con otro ejercicio sobre geometría analítica que nos han enviado y que espero lo disfruten.
Desde el punto E(7;2) se trazan rectas tangentes a la circunferencia (x-5)2+(y+3)2=5. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia.
Como sabemos la ecuación ordinaria de la circunferencia esta dada por la siguiente relación:
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
Donde:
C(h;k) es el centro de la circunferencia
r es el radio de la circunferencia
P(x;y) es un punto genérico de la circunferencia.
De la ecuación de la circunferencia que nos dan, podemos deducir:
C(5;-3) <=== Centro de circunferencia
r = √5 <=== Radio de circunferencia
Para resolver nuestro ejercicio, empezaremos deduciendo la ecuación de la familia de rectas que pasen por el punto (7 , 2), para esto utilizaremos la ecuación de la pendiente de una recta:
m = (y-2)/(x-7)
mx – y + (2-7m) = 0 ............... I
Como ya sabemos, la distancia desde un punto a una recta se halla por medio de la siguiente ecuación:

Donde A ≠ 0 y B ≠ 0
Con la ecuación I, hallaremos la distancia desde el centro de la circunferencia C(5;-3) a la recta tangente a la circunferencia y que pasa por el punto (7;2):

Elevando al cuadrado la igualdad:
(5-2m)2 = (5)(m2 + 1)
4m2 - 20m + 25 = 5m2 + 5
m2 + 20m – 20 = 0
Resolviendo esta ecuación tendremos las siguientes soluciones:
m1 = -10 - 2√30 = -20.9545
y
m2 = -10 + 2√30 = 0.9545
Por lo tanto las ecuaciones de las rectas tangentes buscadas las obtendremos reemplazando estos valores en I:
L1: -20.9545x-y+148.6815=0
L2: 0.9545x-y-4.6812=0
El gráfico final de nuestra solución será el siguiente:

Si tuvieran alguna consulta adicional u otro ejercicio en el que necesiten ayuda, mi e-mail es jwzq2005@gmail.com con gusto los atenderé.
Es duro caer, pero es peor no haber intentado nunca subir.
ROOSEVELT, Theodore