30 nov. 2009

Hallar recta tangente a una parábola

El siguiente ejercicio nos permitirá profundizar sobre las tangentes a una curva.

Si f(x) = x2 + 6x + 11 y g(x) = -8x + b ¿cuánto debe valer b para que la recta sea tangente a la parábola?

Para empezar recordemos que:

Una recta tangente es aquella que solo tiene un punto en común con una curva, es decir la toca en un solo punto, que se llama punto de tangencia. La recta tangente indica la pendiente de la curva en el punto de tangencia.

Por lo tanto el punto de tangencia es un punto de la recta como de la parábola, por lo tanto en el punto de tangencia se cumple que:

f(x) = g(x)
x2 + 6x + 11 = -8x + b

Simplificando y pasando todo a la izquierda tendremos:

x2 + 6x + 11 + 8x – b = 0
x2 + 14x + (11 – b) = 0       …I

Recordemos también que el discriminante de la ecuación cuadrática A x2 + B x + C = 0, se define como:

∆ = B2 – (4)(A)(C) ... II

En nuestra ecuación I

A = 1
B = 14
C = 11 - b

Para que el punto sea una tangente a la curva, el discriminante de esta ecuación tiene que ser cero.

Reemplazando valores en II, tendremos:

(14)2 – (4)(1)(11 – b) = 0
196 – 44 + (4)(b) = 0
152 + (4)(b) = 0
(4)(b) = - 152
b = - 38

Por lo tanto la ecuación de la recta tangente a la parábola dada será:

g(x) = -8x – 38

El punto de tangencia lo hallaremos resolviendo la ecuación I

x2 + 14x + (11 – b) = 0
x2 + 14x + (11 + 38) = 0
x2 + 14x + 49 = 0
(x + 7) 2 = 0

De aquí:
x = - 7

Finalmente:

g(x) = -8x – 38
y = (- 8)(-7) – 38
y = 56 – 38
y = 18

El punto de tangencia será:
P(- 7, 18)

Y el gráfico de dichas funciones será el siguiente:

No se olviden de que si tienen alguna duda o desean hacer alguna consulta, pueden escribirnos a jwzq2005@gmail.com

Cometer un error y no corregirlo es otro error.

CONFUCIO

6 comentarios:

  1. gracias, es justo lo que necesitaba!!!!

    ResponderEliminar
  2. no entiendo como pasa de x2 + 14x + (11 – b) = 0
    a (14)2 – (4)(11 – b) = 0
    ¿cuál es el paso que me falta comprender??

    ResponderEliminar
  3. Hemos agregado la definición de discriminante para aclarar tu duda.
    Saludos

    ResponderEliminar
  4. GRACIAS, AHORA SI, SUPER COMPLETO

    GRAAAAACIAAAAAASSSSSSSSSSSSS!!!!!!!!!!!!!!

    ResponderEliminar
  5. porque la discriminate debe ser cero?????

    gracias por responder

    ResponderEliminar
  6. Por definición el punto de tangencia es un punto (sólo uno) que pertenece tanto a la recta como a la parábola.

    Si el discriminante de la ecuación I fuera diferente de cero, entonces la solución de esa ecuación nos daría dos puntos por lo que la recta sería en este caso una secante y no una tangente.

    Saludos

    ResponderEliminar