5 nov. 2009

Inducción matemática total

Aquí explicaremos como utilizar el método de la inducción matemática para demostrar la veracidad de un enunciado.
Demostrar por inducción matemática, que:
4 + (3) (4 + 42 + 43 + ... + 4n) = 4(n+1)
Recordemos que la inducción matemática es un método de demostración matemática típicamente usado para establecer que un determinado enunciado es verdadero para todos los números naturales.
Principio de inducción Matemática completa:
Una proposición p(n) es verdadera para todos los valores de la variable n si se cumplen las siguientes condiciones:
Paso 1.- La proposición p(n) es verdadera para n = 1, o bien, p(1) es verdadera.
Paso 2.- Hipótesis de Inducción. Se supone que p(k) es verdadera , donde k es un número natural cualesquiera.
Paso 3.- Tesis de Inducción. Se demuestra que p(k + 1) es verdadera, o bien, que la veracidad de la proposición p(k) para cualquier número natural n = k implica su veracidad para el número natural siguiente n = k + 1, o bien, que p(k + 1) es verdadera.
La técnica de Inducción Matemática consiste en los tres pasos anteriores.
4 + (3) (4 + 42 + 43 + ... + 4n) = 4(n+1)
Paso 1.
para n=1
4 + (3) (41) = 4(1+1)
16=16 <=== se cumple
Paso2.
Sí para n = k
4 + (3) (4 + 42 + 43 + ... + 4k) = 4(k + 1)
Paso 3.
Si, para n = k+1
4 + (3) (4 + 42 + 43 + ... + 4k + 4(k + 1)) = 4(k + 1 + 1)
4 + (3) (4 + 42 + 43 + ... + 4k + 4(k + 1)) = 4(k + 2) …………….I

Entonces, añadiendo un ítem a la ecuación:

4 + (3) (4 + 42 + 43 + ... + 4k) + (3) (4(k + 1)) = 4(k + 1) + (3) (4(k + 1))

Sacamos factor común:

4 + (3) (4 + 42 + 43 + ... + 4k) + (3) (4(k + 1)) = 4(k + 1) (1 + 3)
4 + (3) (4 + 42 + 43 + ... + 4k) + (3) (4(k + 1)) = 4(k + 1) (4)
4 + (3) (4 + 42 + 43 + ... + 4k) + (3) (4(k + 1)) = 4(k + 1 + 1)
4 + (3) (4 + 42 + 43 + ... + 4k) + (3) (4(k + 1)) = 4(k + 2) …………….II

Dado que I = II, la proposición

4 + (3) (4 + 42 + 43 + ... + 4n) = 4(n+1)

se cumple para todos los valores de la variable n, siendo n cualquier número natural mayor que cero.

Si tuvieran alguna consulta adicional u otro ejercicio en el que necesiten ayuda, mi e-mail es jwzq2005@gmail.com con gusto los atenderé.
¿No sería más progresista preguntar dónde vamos a seguir, en vez de dónde vamos a parar?
Mafalda - QUINO, Joaquín Salvador Lavado