23/11/2009

Circunferencia que pasa por tres puntos

El siguiente ejercicio que nos han enviado, ya le hemos dado respuesta anteriormente, pero en esta ocasión lo resolveremos utilizando la ecuación general de la circunferencia.

Obtenga la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(5,7) B(-3,5) y C(5,-3) y grafíquela.

Sabemos que la ecuación que buscamos tiene la forma de la ecuación general de la circunferencia:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ..... I

Como los tres puntos dados satisfacen la ecuación del círculo por estar en él, tenemos:
Para el punto A(5,7):         25 + 49 + 5D + 7E + F = 0
Para el punto B(-3,5):        9 + 25 – 3D + 5E + F = 0
Para el punto C(5,-3):        25 + 9 + 5D – 3E + F = 0

Es decir:
74 + 5D + 7E + F = 0         …… II
34 – 3D + 5E + F = 0          …… III
34 + 5D – 3E + F = 0          …… IV

Dado que hay valores que se repiten, trabajaremos primero con las ecuaciones III y IV.

Primero multiplicamos la ecuación III por (-1) y luego la sumamos a la ecuación IV
– 34 + 3D – 5E – F = 0
34  + 5D – 3E + F = 0
0  + 8D – 8E + 0 = 0

Por lo tanto:
D = E           …… V

Ahora utilizamos las ecuaciones II y III, reemplazando D por E:
74 + 5E + 7E + F = 0
34 – 3E + 5E + F = 0

Reduciendo términos semejantes tenemos:
74 + 12E + F = 0
34 +  2E + F = 0

Multiplicando la última ecuación por (–1) y sumando ambas ecuaciones:
 74 + 12E + F = 0
– 34 – 2E – F = 0
40 + 10E + 0 = 0

Despejando:
E = – 4

Reemplazando en V:
D = – 4

Reemplazando valores en II:
74 + (5)(–4) + (7)(–4) + F = 0
74 – 20 – 28 + F = 0
26 + F = 0


F = – 26

Reemplazando valores en I tendremos la ecuación buscada:
x2 + y2 – 4x – 4y – 26 = 0

El grafico de esta círcunferencia es el siguiente:



No se olviden de que si tienen alguna duda o desean hacer alguna consulta, pueden escribirnos a jwzq2005@gmail.com

El secreto de la felicidad no es hacer siempre lo que se quiere sino querer siempre lo que se hace.
TOLSTOY, León

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