1 nov. 2009

Teorema de Menelao

El siguiente ejercicio nos permitirá deducir el teorema de Menelao.

Como siempre empezamos graficando nuestro ejercicio, para lo cual realizamos lo siguiente:
Prolongamos el lado BC hasta que se intercepte con la recta L en el punto P.
Trazamos las perpendiculares Ax, Cz sobre la recta L.

El triángulo AMx es semejante al triángulo CMz (los ángulos son iguales), por lo tanto podemos establecer la siguiente relación: AM / CM = Ax / Cz
El triángulo ATx es semejante al triángulo BTy (los ángulos son iguales), por lo tanto podemos establecer la siguiente relación: BT / AT = By / Ax
El triángulo BPy es semejante al triángulo CPz (los ángulos son iguales), por lo tanto podemos establecer la siguiente relación: CP / BP = Cz / By
Si multiplicamos estas relaciones nos queda:

Con lo que obtenemos el teorema de Menelao:

Por datos del ejercicio:
AT = 5
BC = 10
AM =CM
Por construcción triángulo BPT es isósceles, por lo que:
BT = BP
Reemplazando datos en el teorema de Menelao obtenemos:
CP = AT = 5
Por lo tanto el valor que nos piden será:
BT = BP = BC + CP = 10 + 5
BT = 15
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Por naturaleza, los hombres son muy parecidos entre sí. Son el saber y la experiencia lo que los diferencia.
CONFUCIO