7 nov. 2009

Recta tangente a la parábola por puntos de intersección

Un ejercicio más sobre geometría analítica.
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = x2 - 3x + 3 en los puntos de intersección con la recta y = x.
Primero encontramos la intersección de la curva con y = x:
y = x2 - 3x + 3
y = x
x = x2 - 3x + 3
x2 - 3x + 3 = 0
(x - 3)(x - 1) = 0
Con esto obtenemos:
x = 1 ===> y = 1
x = 3 ===> y = 3
Los puntos de Intersección y por ende de tangencia serán:
P1(1;1) y P2(3;3)
Ahora hallamos las pendientes de las rectas tangentes a la función dada, la cual esta definida como la primera derivada de la función:
y = x2 - 3x + 3
m = dy/dx = y’ = 2x – 3
Seguidamente hallamos la pendiente (m1) en el punto P1(1;1):
m1 = (2)(1) - 3
m1 = -1
Con este dato ya podemos construir la ecuación de la recta tangente:
(y – y1) = m1 (x – x1)
Reemplazando los valores del punto P1(1;1) y el valor de m1 = -1, tendremos:
(y – 1) = (-1)[x – 1]
y - 1 = -x + 1
y + x - 2 = 0
Que es la ecuación de la recta tangente en el primer punto de intersección P1(1;1)
Seguidamente hallamos la pendiente (m2) en el punto P2(3;3):
m2 = (2)(3) - 3
m2 = 3
Con este dato ya podemos construir la ecuación de la recta tangente:
(y – y2) = m2 (x – x2)
Reemplazando los valores del punto P2(3;3) y el valor de m2 = 3, tendremos:
(y – 3) = (3)[x – 3]
y - 3 = 3x - 9
y - 3x + 6 = 0
La cual será la ecuación de la recta tangente en el segundo punto de intersección P2(3;3)
El gráfico de nuestra solución será:

Si tuvieran alguna consulta adicional u otro ejercicio en el que necesiten ayuda, mi e-mail es jwzq2005@gmail.com con gusto los atenderé.
Sólo una persona mediocre está siempre en su mejor momento.
MAUGHAM, William Somerset