El siguiente ejercicio nos permitirá redescubrir el teorema de Apolonio sobre la mediana en un triángulo.
Grafiquemos nuestro ejercicio, añadiendo en la hipotenusa el punto D que divide a la hipotenusa en dos partes iguales (CD es mediana) y el punto X de tal forma que CX sea la altura del triángulo con respecto al vértice C.
Lo que nos piden es calcular el valor de la siguiente suma (S):
S = CM2 +CN2 + MN2
Para solucionar este ejercicio, redescubriremos el teorema de Apolonio.
Por condiciones del ejercicio:
AM = MN = NB = (1/3) AB = (1/3) c
Por construcción y propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo:
AD = DB = CD = (1/2) AB = (1/2) c
De aquí:
AM + DM = DN + NB ===> DM = DN = (1/2) MN = (1/6) c
Por lo tanto CD es mediana del triángulo MCN.
En el triángulo rectángulo CXM:
CM2 = CX2 + MX2
CM2 = CX2 + (DM - DX)2
CM2 = CX2 + DM2 + DX2 – (2)(DM)(DX) ……………I
En el triángulo rectángulo CXN
CN2 = CX2 + NX2
CN2 = CX2 + (DN + DX)2
CN2 = CX2 + DN2 + DX2 + (2)(DN)(DX) …………II
Sabiendo que:
CD2 = CX2 + DX2
DM = DN = (1/2) MN
Sumamos I + II
CM2 +CN2 = (2)(CD2) + DM2 + DN2
CM2 +CN2 = (2)(CD2) + (2)(MN/2)2
Esto es el Teorema de Apolonio:
CM2 +CN2 = (2)(CD2) + (MN2/2)
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Sabemos que:
CD = (1/2) c
MN = (1/3) c
Por lo que:
CM2 +CN2 = (2)(c/2)2 + [(c/3)2/2]
CM2 +CN2 = c2/2 + c2/18
CM2 +CN2 = (5/9) c2
Reemplazando valores en la ecuación S:
S = CM2 +CN2 + MN2
S = (5/9) c2 + (c/3)2
S = (2/3) c2
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TERESA de CALCUTA, Madre
