31 oct. 2009

Teorema de Apolonio sobre la mediana de un triángulo rectángulo

El siguiente ejercicio nos permitirá redescubrir el teorema de Apolonio sobre la mediana en un triángulo.

Grafiquemos nuestro ejercicio, añadiendo en la hipotenusa el punto D que divide a la hipotenusa en dos partes iguales (CD es mediana) y el punto X de tal forma que CX sea la altura del triángulo con respecto al vértice C.

Lo que nos piden es calcular el valor de la siguiente suma (S):
S = CM2 +CN2 + MN2
Para solucionar este ejercicio, redescubriremos el teorema de Apolonio.
Por condiciones del ejercicio:
AM = MN = NB = (1/3) AB = (1/3) c
Por construcción y propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo:
AD = DB = CD = (1/2) AB = (1/2) c
De aquí:
AM + DM = DN + NB ===> DM = DN = (1/2) MN = (1/6) c
Por lo tanto CD es mediana del triángulo MCN.
En el triángulo rectángulo CXM:
CM2 = CX2 + MX2
CM2 = CX2 + (DM - DX)2
CM2 = CX2 + DM2 + DX2 – (2)(DM)(DX) ……………I
En el triángulo rectángulo CXN
CN2 = CX2 + NX2
CN2 = CX2 + (DN + DX)2
CN2 = CX2 + DN2 + DX2 + (2)(DN)(DX) …………II
Sabiendo que:
CD2 = CX2 + DX2
DM = DN = (1/2) MN
Sumamos I + II
CM2 +CN2 = (2)(CD2) + DM2 + DN2
CM2 +CN2 = (2)(CD2) + (2)(MN/2)2
Esto es el Teorema de Apolonio:
CM2 +CN2 = (2)(CD2) + (MN2/2)
Sabemos que:
CD = (1/2) c
MN = (1/3) c
Por lo que:
CM2 +CN2 = (2)(c/2)2 + [(c/3)2/2]
CM2 +CN2 = c2/2 + c2/18
CM2 +CN2 = (5/9) c2
Reemplazando valores en la ecuación S:
S = CM2 +CN2 + MN2
S = (5/9) c2 + (c/3)2
S = (2/3) c2
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No puedo parar de trabajar. Tendré toda la eternidad para descansar.
TERESA de CALCUTA, Madre