9 nov. 2009

Rectas tangentes a una circunferencia

El siguiente ejercicio nos permitirá encontrar las rectas tangentes a una circunferencia.
Encontrar los posibles valores de C para que la recta y = 2x + C sea una tangente a la circunferencia x2 + y2 = 4.
Si se quieren encontrar los puntos comunes de una circunferencia y una familia de rectas de pendiente m, ambas ecuaciones tienen que combinarse:
x2 + y2 = 4 …………… I
y = 2x + C …………… II
Reemplazando II en I:
x2 + (2x + C)2 = 4
x2 + 4x2 + 4Cx + C2 – 4 = 0
5x2 + 4Cx + (C2 – 4) = 0 …………… III
Las raíces de (III) son las abscisas de los puntos donde la recta y = 2x + C corta a la circunferencia x2 + y2 = 4.
Analicemos ahora el discriminante de la expresión (III):

Recordemos que si: 20 – C2 = 0 ===> C = ± √20
La ecuación (III) tiene una única raíz lo cual quiere decir que las rectas y = 2x ± √20 solo tienen un punto en común con la circunferencia. Estas dos rectas se llaman las rectas tangentes a la circunferencia x2 + y2 = 4 de pendiente m = 2 dada.
Por lo tanto los valores de C serán:
C1 = 2√5
C2 = -2√5
Y las rectas tangentes serán:
y1 = 2x + 2√5
y2 = 2x - 2√5
El gráfico de nuestra solución será:

Si tuvieran alguna consulta adicional u otro ejercicio en el que necesiten ayuda, mi e-mail es jwzq2005@gmail.com con gusto los atenderé.
Sólo hasta un cierto grado la propiedad hace al hombre más independiente y libre; pero en un grado más la propiedad se convierte en amo y el propietario en esclavo.
NIETZSCHE, Friedrich