30 ago. 2009

Alcance de una pelota de futbol


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El siguiente ejercicio que nos han enviado para que ayudemos en su solución es similar al que ya hemos resuelto , vease:
http://distribuyendoconocimiento.blogspot.com/2009/08/normal-0-21-false-false-false_30.html


-->Como de costumbre lo primero que hacemos es definir nuestro sistema de referencia y graficar el ejercicio.

-->Recordemos las fórmulas que podemos aplicar al movimiento parabólico:

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El movimiento parabólico se produce como consecuencia de dos movimientos:
a) Un movimiento horizontal uniforme MRU
b) Un movimiento vertical de caída libre MRUV
La posición de la pelota en función del tiempo es
dx = (Vo•cosθ)•t
hy =(Vo•senθ)•t - ½ g•t2

Donde:
dx = desplazamiento horizontal de la pelota
Vo = velocidad inicial de la pelota
t = tiempo del desplazamiento de la pelota
hy = desplazamiento vertical de la pelota
g = aceleración de la gravedad = 9.8 m/s2
θ = ángulo formado por el eje de las abscisas y el vector Vo
do = distancia inicial que separa a los jugadores
El desplazamiento vertical de la pelota está dado por la fórmula:
(1) hy = (Vo•senθ)•t - ½ g•t2

Cuando la pelota llegue a los pies del segundo jugador se cumplirá:
t > 0
hy = 0

Reemplazando este último valor en la fórmula (1) podremos obtener el tiempo que demora la pelota en llegar a los pies del segundo jugador:
0 = (Vo•senθ)•t - ½ g•t2
(Vo•senθ)•t = ½ g•t2
(2) t = (2•Vo•senθ) / g

El desplazamiento horizontal de la pelota, dado que es un MRU, se puede calcular de la fórmula:
(3) dx = (Vo•cosθ)•t

Reemplazando (2) en (3), el desplazamiento horizontal de la pelota estará dado por:
(4) dx = (Vo2)•(2•senθ•cosθ) / g

El desplazamiento que tendrá que hacer el segundo jugador, será:
(5) dj = dx – do

La velocidad del segundo jugador es un MRU dado que su velocidad es constante, por lo tanto:
(6) Vj = dj / t

Reemplazando (2) (4) (5) en (6)
Vj = (dx – do)/t
Vj ={ [(Vo2)•(2•senθ•cosθ) / g] – do}/(2•Vo•senθ) / g
Simplificando obtendremos la ecuación que nos dará la velocidad con la que debe correr el segundo jugador para alcanzar la pelota:
(7) Vj =(Vo•cosθ) – [do•g /(2•Vo•senθ)]

El ejercicio nos da los siguientes datos:
Vo = 20 m/s
do = 20 m
g = 9.8 m/s2
Θ = 30º
Sen 30º = 0.5
Cos 30º = 0.866
Reemplazando estos valores en (7) tendremos:
Vj = (20•0.866) – [20•9.8 /(2•20•0.5)]
Vj = 7.52 m/s

Respuesta: El segundo jugador debe correr a 7.52 m/s para alcanzar la pelota cuando esta llegue al suelo.
Quien no quiere pensar es un fanático; quien no puede pensar, es un idiota; quien no osa pensar es un cobarde.
Sir Francis Bacon(1561-1626) Filósofo y estadista británico.
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