30 ago. 2009

Captura de pelota de beisbol


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El siguiente ejercicio que nos han enviado es uno muy interesante que nos ayudará a profundizar en el conocimiento del movimiento compuesto. Espero que lo disfruten.



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Debemos encontrar una ecuación en la cual con los datos que nos dan podamos calcular la velocidad con que debe correr el jugador.
Primero grafiquemos nuestro ejercicio:



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Y como de costumbre revisemos las fórmulas que podemos aplicar al movimiento parabólico:



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El movimiento parabólico se produce como consecuencia de dos movimientos:
a) Un movimiento horizontal uniforme MRU
b) Un movimiento vertical de caída libre MRUV
La posición de la pelota en función del tiempo es
dx = (Vo•cosθ)•t
hy =(Vo•senθ)•t - ½ g•t2

Donde:
dx = desplazamiento horizontal de la pelota
Vo = velocidad inicial de la pelota
t = tiempo del desplazamiento de la pelota
hy = desplazamiento vertical de la pelota
g = aceleración de la gravedad = 9.8 m/s2
θ = ángulo formado por el eje de las abscisas y el vector Vo
do = distancia inicial que separa al jugador del entrenador
El desplazamiento vertical de la pelota está dado por la fórmula:
(1) hy = (Vo•senθ)•t - ½ g•t2
Cuando la pelota llegue a las manos del jugador se cumplirá:
t > 0
hy = 0

Reemplazando este último valor en la fórmula (1) podremos obtener el tiempo que demora la pelota en llegar a las manos del jugador:
0 = (Vo•senθ)•t - ½ g•t2
(Vo•senθ)•t = ½ g•t2
(2) t = (2•Vo•senθ) / g

El desplazamiento horizontal de la pelota, dado que es un MRU, se puede calcular de la fórmula:
(3) dx = (Vo•cosθ)•t

Reemplazando (2) en (3), el desplazamiento horizontal de la pelota estará dado por:
(4) dx = (Vo2)•(2•senθ•cosθ) / g

El desplazamiento que tendrá que hacer el jugador, será:
(5) dj = dx – do

La velocidad del jugador es un MRU dado que no nos dicen que tiene aceleración, por lo tanto:
(6) Vj = dj / t

Reemplazando (2) (4) (5) en (6)
Vj = (dx – do)/t
Vj ={ [(Vo2)•(2•senθ•cosθ) / g] – do}/(2•Vo•senθ) / g
Simplificando obtendremos la ecuación que nos dará la velocidad con la que debe correr el jugador para alcanzar la pelota:
(7) Vj =(Vo•cosθ) – [do•g /(2•Vo•senθ)]

El ejercicio nos da los siguientes datos:
Vo = 50 m/s
do = 45 m
g = 9.8 m/s2
Θ = 41º
Sen 41º = 0.6561
Cos 41º = 0.7547

Reemplazando estos valores en (7) tendremos:
Vj = (50•0.7547) – [45•9.8 /(2•50•0.6561)]
Vj = 31.01 m/s

Respuesta: El jugador debe correr a 31.01 m/s para recoger la pelota a la misma altura en que fue lanzada.
El sabio no dice todo lo que piensa, pero siempre piensa todo lo que dice.
Aristóteles(384 AC-322 AC) Filósofo griego.
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