3 ago. 2009

Tiro vertical conociendo la velocidad inicial


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Para muchos estudiantes el tema de tiro vertical y caída libre les resulta muy difícil de comprender, sin embargo si se sabe que son cuatro fórmulas y tres propiedades las que los rigen, el aprendizaje de este tema será más fácil.
Mi objetivo es desarrollar minuciosamente y paso a paso uno de los ejercicio que he encontrado que es el que más consultan los estudiantes, a fin de que los ayude a solucionar ejercicios similares.
A los estudiantes que tengan ya conocimiento de algunas partes de este tema, les agradeceré tener paciencia por lo largo de la explicación.
Uno de los ejercicios de física que es más recurrente en las preguntas de Yahoo!Respuestas es el siguiente:
Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad inicial de 30 m/s,
(a) ¿Qué altura máxima alcanza y que tiempo ha empleado?
(b) ¿Cuánto tiempo estuvo en el aire desde que se lanzó y que velocidad alcanza al final de su recorrido?
(c) ¿Qué posición ocupa y la velocidad al cabo de 5 s de haber sido lanzado?
(d) ¿En qué tiempo adquiere una rapidez de 9 m/s y a que altura se encuentra?
Para responder a todas estas interrogantes debemos recordar que en tiro vertical y caída libre el cuerpo está sometido a la aceleración de la gravedad de la tierra, la cual tiene el siguiente valor:

g = 9.8 m/s2
Muchas veces para fines prácticos se redondea a:
g = 10 m/s2
Como el tiro vertical y caída libre de un cuerpo es un movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), las fórmulas que se aplican serán las indicadas en la figura.

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Donde:
Vf = Velocidad final del objeto
Vo = Velocidad inicial del objeto

g = Aceleración de la gravedad

t = Tiempo transcurrido entre el inicio y el final

h = Altura alcanzada por el objeto

En la figura siguiente mostramos todos los casos que pueden presentarse en un ejercicio de Tiro vertical y Caída libre.


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Conforme avancemos en la solución de nuestro ejercicio iremos aprendiendo las propiedades adiciones que gobiernan estos tipos de movimiento.
Entonces manos a la obra.
Datos del ejercicio:
Vo = 30 m/s
g = 10 m/s2
Primera pregunta:
(a) ¿Qué altura máxima alcanza y que tiempo ha empleado?
Para resolver esta pregunta tendremos que recordar la primera propiedad del movimiento Tiro vertical y caída libre de los cuerpos:
"Un cuerpo alcanza su altura máxima cuando su velocidad de ascenso se hace igual a cero"
V1 = 0

Tomamos la segunda fórmula y despejamos hm (altura máxima):
V12 = Vo2 - 2gh --> h = (Vo2 – V12)/2g
hm = (Vo2)/2g

Sustituyendo valores tendremos:
hm = (30)2/(2)(10) = 900/20
hm = 45 m.

Para hallar el tiempo empleado para alcanzar la altura máxima utilizaremos la primera fórmula y despejaremos ts:
V1 = Vo – gt --> t = (Vo – V1)/g
ts = (Vo)/g
Sustituyendo valores tendremos:
ts = (30)/10 = 3 s

Respuesta: La pelota alcanza una altura máxima de 45 m y el tiempo que emplea en alcanzar esta distancia es de 3 s.
Continuemos con la segunda pregunta:
(b) ¿Cuánto tiempo estuvo en el aire desde que se lanzó y que velocidad alcanza al final de su recorrido?
Para resolver pregunta tenemos que recordar la segunda propiedad del movimiento Tiro vertical y caída libre de los cuerpos:
"Cuando un cuerpo se lanza hacia arriba verticalmente, el tiempo ts que emplea en subir es igual al tiempo tb que emplea en bajar hasta su punto de partida."

ts = tb

Con esto podemos decir que el tiempo que esta en el aire la pelota es igual al doble del tiempo de subida y como en la pregunta anterior ya hallamos el tiempo de subida, tendremos:
tv = 2 ts = (2)(3)
tv = 6 s
La velocidad final la podemos deducir con la tercera propiedad del movimiento Tiro vertical y caída libre de los cuerpos:
"Cuando se lanza un cuerpo hacia arriba verticalmente, el valor de la velocidad inicial vo, con la que se lanza dicho cuerpo, es igual al valor de la velocidad final vf con la que regresa a su punto de partida; pero sus sentidos son opuestos."

vf = -vo
Con esto: vf =-30 m/s
Respuesta: la pelota estuvo en el aire 6 s y al final de su recorrido alcanzo una velocidad de – 30 m/s
Continuemos con la tercera pregunta
(c) ¿Qué posición ocupa y la velocidad al cabo de 5 s de haber sido lanzado?
Para hallar su ubicación después de 5 s tendremos que utilizar la cuarta fórmula:
h = Vo t - (g/2)(t2) = (30)(5) – (10/2)(5)2
h =150 – 125
h = 25 m
Para calcular su velocidad en ese instante utilizamos la primera fórmula:
V1 = Vo – gt = 30 – (10)(5) = 30 - 50

V1 = - 20 m/s
El signo menos (-) nos indica que a los 5 s la pelota ya esta bajando.
Respuesta: A los 5 s la pelota esta a una altura de 25 m. de su punto de partida y su velocidad es de – 20 m/s.

Finalmente llegamos a la cuarta pregunta:
(d) ¿En qué tiempo adquiere una rapidez de 9 m/s y a que altura se encuentra?
Para hallar el tiempo que necesita para adquirir la velocidad solicitada utilizaremos la primera fórmula:
vf = vo – gt à t = (vo – vf)/ g
t = (30 – 9)/10
t = 2,1 s
La altura a la que se encuentra la hallaremos utilizando la segunda fórmula:
v f2 = v o2 - 2gh à h = (v o2 – v f2)/ 2g
h = [(30)2 – (9)2]/ (2)(10)
h = 819/20
h = 40,95 m
Respuesta: Para adquirir la velocidad de 9 m/s la pelota necesita un tiempo de 2,1 s y en ese momento se encontrará a 40,95 m de su punto de partida
Espero que les sea de utilidad este desarrollo.
Si tuvieran alguna consulta adicional u otro ejercicio en el que necesiten ayuda, mi e-mail es jwzq2005@gmail.com con gusto los atenderé.

“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber.”
Albert Einstein 1879-1955