13 sept. 2009

Método de Eliminación Gaussiana

Hoy veremos como resolver un sistemas de ecuaciones lineales mediante el algoritmo de eliminación gaussiana.


Este sistema puede ser escrito en forma matricial omitiendo las variables, a esta matriz se le denomina matriz ampliada del sistema y es la siguiente:


Nuestro objetivo es obtener una matriz escalonada reducida que tenga el siguiente aspecto:

Para conseguirlo vamos a seguir el Método de Eliminación Gaussiana. Este algoritmo consiste en dos procesos:

a) Eliminación hacia adelante: Esta fase reduce el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular Superior:

1º Reordenamos las ecuaciones de forma tal que las ecuaciones que empiecen con 1 estén al inicio.

2º Seleccionamos el 1 con que empieza la primera fila como nuestro primer pivote. Luego debemos obtener 0 en la primera columna de las filas 2, 3 y 4, para esto realizamos las siguientes operaciones en cada uno de los casilleros de las filas:
Fila 2: F2 – F1
Fila 3: F3 – 3F1
Fila 4: F4 – 2F1

Esto nos da como resultado la siguiente matriz:

3º Para que la segunda fila empiece con 1, tenemos que multiplicar dicha fila por (-1/3)

Esto nos da como resultado la siguiente matriz:

4º Seleccionamos el 1 con que empieza la segunda fila como nuestro nuevo pivote. Luego debemos obtener 0 en la segunda columna de las filas 3 y 4, para esto realizamos las siguientes operaciones en cada uno de los casilleros de las filas:
Fila 3: F3 – (–7)F2 es decir F3 + 7F2
Fila 4: F4 – (–5)F2 es decir F4 + 5F2

Esto nos da como resultado la siguiente matriz:

5º Para que la tercera fila empiece con 1, tenemos que multiplicar dicha fila por (-1/7)

Esto nos da como resultado la siguiente matriz:

6º Seleccionamos el 1 con que empieza la tercera fila como nuestro nuevo pivote. Luego debemos obtener 0 en la tercera columna de la fila 4, para esto realizamos las siguientes operaciones en cada uno de los casilleros de la fila cuarta:
Fila 4: F4 – (–5)F3 es decir F4 + 5F3

Esto nos da como resultado la siguiente matriz:

7º Para que la cuarta fila empiece con 1, tenemos que multiplicar dicha fila por (7/12)

Finalmente, esto nos da como resultado la siguiente matriz escalonada reducida que deseábamos encontrar:


b) Sustitución hacia atrás:

Ya obtenido el sistema equivalente que es un sistema triangular superior este es más manejable y se puede resolver despejando primero T y este valor utilizarlo para obtener despejando la segunda incógnita hasta obtener el resultado completo del sistema.
Por lo tanto, de la cuarta fila se obtiene:
T = - 4
Reemplazando T en la tercera ecuación:












Reemplazando T en la segunda ecuación:












Reemplazando T, Z, Y en la primea ecuación:











Por lo tanto este sistema de ecuaciones tiene una sola solución:

{X; Y; Z; T}={8/3; -1/3; -2/3; -4}


Reemplazando valores:








Simplificando obtenemos:
19 = 19
16 = 16
9 = 9
7 = 7

Con lo que queda demostrado que las soluciones al sistema de ecuaciones lineales que nos han dado es:
X = 8/3

Y = 1/3

Z = 2/3

T = 4

Como pueden ver, resolver este tipo de ejercicios no es tan complicado sólo tenemos que poner cuidado en los signos de las operaciones que realizamos.

Espero haber sido lo suficientemente claro, si tuvieran alguna consulta nuestro e-mail es jwzq2005@gmail.com