17 ene. 2010

Semejanza de triángulos

Las bases de un trapecio miden 17 cm y 10 cm, y uno de sus lados 7 cm. El ángulo que forman las rectas sobre las que se encuentran los lados no paralelos es de 32º. Calcula lo que mide el otro lado y el área del Trapecio.

Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos (las bases) y los otros dos no paralelos.

Para empezar grafiquemos nuestro ejercicio.


Sea BCED es el trapecio que nos dan, donde:

DE = 10cm
BC = 17cm
BD =7cm
EC = ¿?

La prolongación de los lados no paralelos BD y CE, se juntan en el punto A, por lo que:

BÂC = 32°.

Calculamos la medida del segmento AD.

Recordemos el teorema de Thales en un triángulo:

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, DE, a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo ADE, cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

AD/DE=AB/BC
AD /10 = (AD +7)/17
(17)(AD) = (10)(AD) +70
(7)(AD) =70

AD = 10 cm

Calculamos la medida del segmento AE.

Recordemos el teorema del coseno:

En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.

En el triángulo ADE:

(DE)² = (AD)² + (AE)² – (2)(AD)(AE)(cos32º)
(10)² = (10)² + (AE)² – (2)(10)(AE)(0,848)
100 = 100 + (AE)² – (16,96)(AE)

AE = 16,96 cm

Calculamos  la medida del segmento EC.

Volvemos a utilizar el teorema de Thales:

AD/DB = AE/EC
10/7 = 16,96/EC

EC = 11,87 cm

Calculamos el área del trapecio BCED.

Para calcular el área del trapecio, recordemos la llamada fórmula de Herón, que nos permite calcular el área de un triángulo conocidos los tres lados.

Si llamamos p al semiperímetro y a, b, c a los tres lados:




El área del trapecio estará dado por:

ABCED = AABC – AADE

ABCED = 129,90 44.94

ABCED = 84,96 cm2

No se olviden de que si tienen alguna duda o desean hacer alguna consulta, pueden escribirnos a jwzq2005@gmail.com

2 comentarios:

  1. en el 2º dibujo te equivocaste el punto D es el C y el C es el D

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  2. Gracias por escribirnos.

    En el ejercicio que he resuelto sólo hay un dibujo, por lo que debo suponer que te estas refiriendo al segundo dibujo del video preparado por eGauss.

    Para hacer coincidir ambos triángulos, se debe hacer girar 180º (en el mismo plano de la pizarra) el triángulo más pequeño tomando como centro el punto O que los une, de tal manera de mantener las condiciones iniciales del ejercicio:

    Segmento CD || Segmento AB (paralelos)
    Ángulo OCD = Ángulo OBA (Alternos internos)
    Ángulo ODC = Ángulo OAB (Alternos internos)

    Si realizas este giro de la forma que te indico, veras que el orden de las letras esta correcto y que las condiciones iniciales del ejercicio se mantienen.

    Saludos cordiales,

    Ing. Julio Zavala

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