Movimiento compuesto

2005-1

Un cohete despega en línea recta formando un  ángulo de 53º con la horizontal. La magnitud de la aceleración del cohete es g y los motores se apagan T segundos después del lanzamiento, y entonces el cohete se mueve como un proyectil. Ignorando la resistencia del aire y asumiendo que la aceleración de la gravedad es constante e igual a g, determine la altura máxima que alcanza el cohete y la distancia a la que cae respecto del punto de lanzamiento.

Primero grafiquemos nuestro ejercicio:

En nuestro gráfico hemos dividido la trayectoria de nuestro cohete en tres tramos:

Tramo 0 – 1, donde el movimiento es acelerado

Tramo  1 – 2, donde es un movimiento compuesto

Tramo 2 – 3, donde el movimiento es de caída libre con velocidad horizontal inicial

Ahora analicemos cada uno de los tramos.

En el tramo 0 – 1 tenemos los siguientes datos:

a_0-1 = g

v_o0-1 = 0

t_0-1 = T s

Por lo que:

v_f0-1 = v_o0-1 + (a_0-1)(t_0-1)

Reemplazando valores:

v_f0-1 = 0 + (g)(T)

vf0-1 = (g)(T)

Las componentes de esta velocidad serán:

v_fx0-1 = (g)(T)(cos 53º)

vfx0-1 = (3/5)(g)(T)

v_fy0-1 = (g)(T)(sen 53º)

vfy0-1 = (4/5)(g)(T)

El desplazamiento horizontal del tramo 0 – 1 estará dado por:

∆x_0-1 = (v_o)(t) + (1/2)(a_x0-1)(t²)

∆x_0-1 = (0)(T) + (1/2)(g)(cos 53º)(T²)

∆x_0-1 = (1/2)(g)(3/5)(T²)

∆x0-1 = (3/10)(g)(T2)

El desplazamiento vertical del tramo 0 – 1 estará dado por:

∆y_0-1 = (v_o)(t) + (1/2)(a_y0-1)(t²)

∆y_0-1 = (0)(T) + (1/2)(g)(sen 53º)(T²)

∆y_0-1 = (1/2)(g)(4/5)(T²)

∆y0-1 = (2/5)(g)(T2)

En el tramo 1 – 2 tenemos los siguientes datos:

a_y = – g

v_oy1-2 = v_fy0-1 = (4/5)(g)(T)

v_ox1-2 = v_fx0-1 = (3/5))(g)(T)

v_fy1-2 = 0

El desplazamiento vertical del tramo 1 – 2 estará dado por:

 (v_fy1-2)²  = (v_oy1-2)² + (2)(a_y)(∆y_1-2)

Reemplazando valores:

(0)²  = (4/5)²(g)²(T)²  + (2)(– g)(∆y_1-2)

∆y1-2 = (8/25)(g)(T)2

Hallaremos ahora el desplazamiento horizontal del tramo 1 – 2.

Para ello primero calculamos el tiempo transcurrido entre el tramo 1 - 2

v_fy1-2 = v_oy1-2 + (a_y)(t_1-2)

0 = (4/5)(g)(T) + (– g)(t_1-2)

t1-2 = (4/5)(T)

El desplazamiento horizontal será:

∆x_1-2 = (v_ox1-2)(t_1-2)

Reemplazando valores:

∆x_1-2 = (3/5)(g)(T)(4/5)(T)

∆x1-2 = (12/25)(g)(T)2

En el tramo 2 – 3 tenemos los siguientes datos:

v_oy2-3 = 0

v_ox2-3 = (3/5)(g)(T)

∆y_2-3 = – (∆y_0-1 + ∆y_1-2 )

∆y_2-3 = – [(2/5)(g)(T²) + (8/25)(g)(T)²]

∆y2-3 = – (18/25)(g)(T2)

Hallaremos ahora el desplazamiento horizontal del tramo 2 – 3.

Para ello primero calculamos el tiempo transcurrido entre el tramo 2 – 3

∆y_2-3 = (v_oy2-3)(t_2-3)+ (1/2)(a_y2-3)(t_2-3)²

– (18/25)(g)(T²) = (0)(t_2-3) + (1/2)(– g)(t_2-3)²

t2-3 = (6/5)(T)

El desplazamiento horizontal será:

∆x_2-3 = (v_ox2-3)(t_2-3)

Reemplazando valores:

∆x_1-2 = (3/5)(g)(T)(6/5)(T)

∆x1-2 = (18/25)(g)(T)2

La distancia a la que cae el cohete respecto del punto de lanzamiento es:

∆x_0-3 = ∆x_0-1 + ∆x_1-2 + ∆x_2-3

Reemplazando valores:

∆x_0-3 = (3/10)(g)(T²) + (12/25)(g)(T²) + (18/25)(g)(T²)

∆x0-3 = (3/2)(g)(T2)

No se olviden de que si tienen alguna duda o desean hacer alguna consulta, pueden escribirnos a jwzq2005@gmail.com