8 ene. 2010

Movimiento compuesto

2005-1

Un cohete despega en línea recta formando un  ángulo de 53º con la horizontal. La magnitud de la aceleración del cohete es g y los motores se apagan T segundos después del lanzamiento, y entonces el cohete se mueve como un proyectil. Ignorando la resistencia del aire y asumiendo que la aceleración de la gravedad es constante e igual a g, determine la altura máxima que alcanza el cohete y la distancia a la que cae respecto del punto de lanzamiento.

Primero grafiquemos nuestro ejercicio:


En nuestro gráfico hemos dividido la trayectoria de nuestro cohete en tres tramos:

Tramo 0 – 1, donde el movimiento es acelerado
Tramo  1 – 2, donde es un movimiento compuesto
Tramo 2 – 3, donde el movimiento es de caída libre con velocidad horizontal inicial

Ahora analicemos cada uno de los tramos.

En el tramo 0 – 1 tenemos los siguientes datos:

a0-1 = g
vo0-1 = 0
t0-1 = T s

Por lo que:

vf0-1 = vo0-1 + (a0-1)(t0-1)

Reemplazando valores:

vf0-1 = 0 + (g)(T)

vf0-1 = (g)(T)

Las componentes de esta velocidad serán:

vfx0-1 = (g)(T)(cos 53º)

vfx0-1 = (3/5)(g)(T)

vfy0-1 = (g)(T)(sen 53º)

vfy0-1 = (4/5)(g)(T)

El desplazamiento horizontal del tramo 0 – 1 estará dado por:

∆x0-1 = (vo)(t) + (1/2)(ax0-1)(t2)
∆x0-1 = (0)(T) + (1/2)(g)(cos 53º)(T2)
∆x0-1 = (1/2)(g)(3/5)(T2)

∆x0-1 = (3/10)(g)(T2)

El desplazamiento vertical del tramo 0 – 1 estará dado por:

∆y0-1 = (vo)(t) + (1/2)(ay0-1)(t2)
∆y0-1 = (0)(T) + (1/2)(g)(sen 53º)(T2)
∆y0-1 = (1/2)(g)(4/5)(T2)

∆y0-1 = (2/5)(g)(T2)

En el tramo 1 – 2 tenemos los siguientes datos:

ay = – g
voy1-2 = vfy0-1 = (4/5)(g)(T)
vox1-2 = vfx0-1 = (3/5))(g)(T)
vfy1-2 = 0

El desplazamiento vertical del tramo 1 – 2 estará dado por:

 (vfy1-2)2  = (voy1-2)2 + (2)(ay)(∆y1-2)

Reemplazando valores:

(0)2  = (4/5)2(g)2(T)2  + (2)(– g)(∆y1-2)

∆y1-2 = (8/25)(g)(T)2

Hallaremos ahora el desplazamiento horizontal del tramo 1 – 2.

Para ello primero calculamos el tiempo transcurrido entre el tramo 1 - 2

vfy1-2 = voy1-2 + (ay)(t1-2)
0 = (4/5)(g)(T) + (– g)(t1-2)

t1-2 = (4/5)(T)

El desplazamiento horizontal será:

∆x1-2 = (vox1-2)(t1-2)

Reemplazando valores:

∆x1-2 = (3/5)(g)(T)(4/5)(T)

∆x1-2 = (12/25)(g)(T)2

En el tramo 2 – 3 tenemos los siguientes datos:

voy2-3 = 0
vox2-3 = (3/5)(g)(T)
∆y2-3 = – (∆y0-1 + ∆y1-2 )
∆y2-3 = – [(2/5)(g)(T2) + (8/25)(g)(T)2]

∆y2-3 = – (18/25)(g)(T2)

Hallaremos ahora el desplazamiento horizontal del tramo 2 – 3.

Para ello primero calculamos el tiempo transcurrido entre el tramo 2 – 3

∆y2-3 = (voy2-3)(t2-3)+ (1/2)(ay2-3)(t2-3)2
– (18/25)(g)(T2) = (0)(t2-3) + (1/2)(– g)(t2-3)2

t2-3 = (6/5)(T)

El desplazamiento horizontal será:

∆x2-3 = (vox2-3)(t2-3)

Reemplazando valores:

∆x1-2 = (3/5)(g)(T)(6/5)(T)

∆x1-2 = (18/25)(g)(T)2

La distancia a la que cae el cohete respecto del punto de lanzamiento es:

∆x0-3 = ∆x0-1 + ∆x1-2 + ∆x2-3

Reemplazando valores:

∆x0-3 = (3/10)(g)(T2) + (12/25)(g)(T2) + (18/25)(g)(T2)

∆x0-3 = (3/2)(g)(T2)

No se olviden de que si tienen alguna duda o desean hacer alguna consulta, pueden escribirnos a jwzq2005@gmail.com



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