Velocidad y rapidez instantáneas

8.     (a) Utilice los datos del problema 1 para construir una gráfica suave de posición contra tiempo. (b) Con la construcción de tangentes a la curva x(t), encuentre la velocidad instantánea del auto en varios instantes. (c) Grafique la velocidad instantánea contra el tiempo y, de esta, determine la aceleración promedio del auto. (d) ¿Cuál fue la velocidad inicial del auto?

t(s)	0	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0
x(m)	0	2,3	9,2	20,7	36,8	57,5

(a)  La figura formada por los puntos dados se semeja a la mitad de una parábola.

Recordemos que la ecuación de una parábola vertical con vértice en (0,0) es:

x = (k)(t)²

Para t = 1,0 y x = 2,3, tendremos:

(2,3) = (k)(1,0)²

k = 2,3

Por lo tanto la ecuación de nuestra parábola será;

x = (2,3)(t)²     para: t ≥ 0

La ecuación de la recta tangente en algún punto de nuestra parábola estará dada por:

(x + x_i) = (2k)(t_i)(t)

(x + x_i) = (4,6)(t_i)(t)

x = (4,6)(t_i)(t) – (x_i)

Donde la pendiente de la recta esta dada por:

pendiente = (4,6)(t_i)

(b)   Recordemos que la velocidad instantánea en un punto determinado, está definida como la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto, es decir:

Para t₁ = 1,0 y x₁ = 2,3

x = (4,6)(t_i)(t) – (x_i)

x = (4,6)(1,0)(t) – (2,3)

x = (4,6)(t) – 2,3

Por lo tanto:                         

v = 4,6 m/s

Para t₂ = 2,0 y x₂ = 9,2

x = (4,6)(t_i)(t) – (x_i)

x = (4,6)(2,0)(t) – (9,2)

x = (9,2)(t) – 9,2

Por lo tanto:                         

v = 9,2 m/s

Para t₃ = 3,0 y x₃ = 20,7

x = (4,6)(t_i)(t) – (x_i)

x = (4,6)(3,0)(t) – (20,7)

x = (13,8)(t) – 20,7

Por lo tanto:                         

v = 13,8 m/s

Para t₄ = 4,0 y x₄ = 36,8

x = (4,6)(t_i)(t) – (x_i)

x = (4,6)(4,0)(t) – (36,8)

x = (18,4)(t) – 36,8

Por lo tanto:                         

v = 18,4 m/s

Para t₅ = 5,0 y x₅ = 57,5

x = (4,6)(t_i)(t) – (x_i)

x = (4,6)(5,0)(t) – (57,5)

x = (23,0)(t) – 57,5

Por lo tanto:                         

v = 23,0 m/s

(c)   Recordemos que se define la aceleración media a_m como el cambio de velocidad en un intervalo de tiempo.

a_m = ∆v / ∆t

am = 4,6 m/s2

(d)   La velocidad esta definida como:

v = (4,6)(t_i)

Para t = 0

v = 0

No se olviden de que si tienen alguna duda o desean hacer alguna consulta, pueden escribirnos a jwzq2005@gmail.com

Es fácil cambiar el curso de los ríos y las montañas, pero difícil cambiar la naturaleza de un hombre.

PROVERBIO CHINO