Teorema de Poncelet

Veremos ahora un ejercicio que nos permitirá recordar el  teorema de Poncelet.

Calcular el radio de la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 40 cm. y 9 cm. y su hipotenusa 41 cm.

Primero graficaremos nuestro ejercicio.

Recordemos que:

“Circunferencia inscrita en un triángulo es la circunferencia que es tangente a los tres lados.”

Por otro lado por propiedad de la circunferencia:

“Por un punto exterior a una circunferencia sólo se pueden trazar dos tangentes y estas tangentes son congruentes”.

Por lo tanto en nuesto gráfico:

Bm = Bp

An = Ap

AB = Ap + Bp

Por construcción el cuadrilátero CmOn es un cuadrado donde:

Cm = On =r

Cn = Om = r

Con estos datos sumamos los catetos:

AC + BC = Cn + An + Bm + Cm

Reemplazando valores:

AC + BC = r + Ap + Bp + r

AC + BC = 2r + AB

Este es un caso particular del teorema de PONCELET:

“En todo triángulo rectángulo, la suma de las longitudes de los catetos es igual a la longitud de la hipotenusa, más el doble del radio de la circunferencia inscrita.”

Despejamos r:

r = (AC + BC – AB) / 2

Reemplazando las dimensiones de nuestro triángulo:

r = (9 + 40 – 41) / 2

r = 4 cm.

No se olviden de que si tienen alguna duda o desean hacer alguna consulta, pueden escribirnos a jwzq2005@gmail.com

La verdad raramente es pura y nunca simple.

WILDE, Oscar Fingal O`Flahertie Wills