Circunferencias que no se cortan

El siguiente ejercicio es muy interesante pues nos piden demostrar algo diferente a lo que normalmente se solicita.

Demostrar, por dos métodos, que las siguientes circunferencias

x²+y²+2x-8y+13=0

4x²+4y²-40x+8y+79=0

No se cortan.

Uno de los métodos que se puede utilizar es demostrar que la suma de los radios es menor que la distancia que separa los centros de dichas circunferencias.

r1 + r2 < d

Dados las coordenadas del centro de la circunferencia C(h;k) y el radio "r" de la misma, la ecuación ordinaria de la circunferencia es:

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

Si desarrollamos esta ecuación podemos obtener la forma general de la ecuación de la circunferencia:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Donde:

h = - (D/2)

k = - (E/2)

r² = (- D/2)² + (- E/2)² – F  … I

Por lo tanto el centro de la circunferencia está dado por:

C(h; k) = C(- D/2; - E/2)    … II

Para la primera circunferencia de nuestro ejercicio:

x² + y² + 2x - 8y + 13 = 0

De I

r₁² = (- 2/2)² + (8/2)² – 13

r₁² = 1 + 16 – 13

r₁² = 4

r1 = 2

De II

C₁(- 2/2; 8/2)

C1(- 1; 4)

Para la segunda circunferencia:

4x² + 4y² - 40x + 8y + 79 = 0

x² + y² - 10x + 2y + (79/4) = 0

De I

R₂² = (-10/2)² + (2/2)² – (79/4)

r₂² = 25 + 1 – (79/4)

r₂² = 25/4

r2 = 5/2

De II

C₂(10/2; -2/2)

C2(5; - 1)

La distancia entre dos puntos esta definida por:

d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²

Con esta fórmula podemos hallar la distancia que separa a los dos centros de circunferencia de nuestro ejercicio.

d² = (5 +1)² + (- 1 - 4)²

d² = 36 + 25

d² = 61

d = 7.81

Para que las dos circunferencias no se corten se tiene que cumplir:

r1 + r2 < d

Reemplazando datos:

2 + 2.5 < 7.81

4.5 < 7.81

Con esto queda demostrado que las circunferencias dadas no se cortan.

Otro método sería despejar "y" de las ecuaciones que nos han dado e igualar los resultados.

Recordemos que: Dadas dos circunferencias, el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto a ambas circunferencias, es una recta y se llama eje radical.

Como saben cuando dos circunferencias se cortan, los puntos de intersección se encuentran en el eje radical.

Siendo las ecuaciones de las circunferencias:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

x² + y² + D'x + E'y + F' = 0

La ecuación del eje radical es:

(D - D')x + (E - E')y + (F - F') = 0

Para las circunferencias de nuestro ejercicio:

x²+y²+2x-8y+13=0

x² + y² - 10x + 2y + (79/4) = 0

El eje radical será:

12x – 10 y – (27/4) = 0

Para determinar si esta recta se corta con alguna de estas circunferencias, lo, que hacemos es despejar “y” de esta ecuación:

10y = 12x – (27/4)

y = 1.2x  – (2.7/4)   … III

Ahora utilizamos la ecuación de la primera circunferencia, para despejar también “y”:

x² + y² + 2x – 8y + 13 = 0

y²  – 8y = – x² – 2x – 13

Completando cuadrados:

y²  – 8y + 16 = – x² – 2x – 13 + 16

(y – 4) ² = – x² – 2x + 3

Sacando raíz cuadrada:

y – 4 = ± √(3 - x² - 2x )

Reemplazando el valor de “y” encontrado en III:

1.2x  – (2.7/4) – 4 = ± √(3 - x² - 2x )

 1.2x – (18.7/4) = ± √(3 - x² - 2x )

Elevando al cuadrado ambos miembros:

1.44x² – 11.22x + 21.856 = 3 - x² - 2x

2.44x² – 9.22x + 18.856 =0

A continuación, analizamos el discriminante de esta ecuación:

∆ = (9.22)² – (4)(2.44)(18.856)

∆ = 85.0084 – 184.0346

∆ = - 99.026

Dado que el discriminante de esta ecuación es menor que cero (es decir es un número negativo), esto implica que ningún punto de esta circunferencia esta en el eje radical y esto demuestra que las dos circunferencias no tienen puntos comunes.

No se olviden de que si tienen alguna duda o desean hacer alguna consulta, pueden escribirnos a jwzq2005@gmail.com

Las proposiciones matemáticas, en cuanto tienen que ver con la realidad, no son ciertas; y en cuanto que son ciertas, no tienen que ver con la realidad.

EINSTEIN, Albert