5 dic. 2009

Funciones trigonométricas de ángulo triple

Aquí desarrollaremos un ejercicio que nos permitirá utilizar nuestros conocimientos de funciones trigonométricas de ángulos triples.


Lo primero que debemos buscar es una relación donde intervenga la incógnita que nos solicitan averiguar.

Por geometría sabemos que:

CÊD = 40º + xº        ===>  Por ser ángulo exterior al triángulo BCE

Ahora podemos utilizar la definición de tg en el triángulo rectángulo CDE:

tg (40º + xº) = cateto opuesto / cateto adyacente
tg (40º + xº) = CD / DE               … I

Trataremos de hallar una relación que nos permita calcular CD y DE en función de los ángulos que nos dan:

Para CD del gráfico:

CD = (BD)(tg 40º)                      … II

Y también del gráfico:

BD = (AD)(tg 20º)                       … III

Reemplazando III en II tendremos:

CD = (AD)(tg 20º) (tg 40º)           … IV

En el triángulo rectángulo ADE:

AÊD = 90º - 10º
AÊD = 80º

Para DE del gráfico:

DE = (AD)(1 / tg 80º)                  …V

Reemplazando los valores de IV y V en I tendremos:

tg (40º + xº) = [(AD)(tg 20º) (tg 40º)] / [(AD)(1 / tg 80º)]

Simplificando:

tg (40º + xº) = (tg 20º) (tg 40º)( tg 80º)

Esto es lo mismo que decir:

tg (40º + xº) = (tg 20º) [tg (60º - 20º)][ tg (60º + 20º)]        …VI

Pero recordemos que para un ángulo triple se cumple lo siguiente:

tg 3θ = tg θ . tg (60º- θ) . tg (60º + θ)

Aplicando esto en VI tendremos:

tg (40º + xº) = tg (3)(20º)
tg (40º + xº) = tg (60º)

De aquí, podemos igualar los ángulos:

40º + xº = 60º
xº = 60º - 40º

Por lo tanto el ángulo buscado será:

xº = 20º

No se olviden de que si tienen alguna duda o desean hacer alguna consulta, pueden escribirnos a jwzq2005@gmail.com

Si no quieres perderte en el olvido tan pronto como estés muerto y corrompido, escribe cosas dignas de leerse, o haz cosas dignas de escribirse.

FRANKLIN, Benjamin

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