Movimiento en una dimensión - Aceleración

12.     Una partícula arranca desde el reposo y acelera como se ve en la figura P2.12. Determine (a) la rapidez de la partícula en t = 10,0 s. y t = 20,0 s. y (b) la distancia recorrida en los primeros 20,0 s.

(a)  Recordemos que:

vf =  vi + at

Como la partícula arranca desde el reposo:

v_i = 0

Como podemos observar la aceleración es constante durante los primeros 10 segundos, por lo tanto la velocidad al final de este tiempo será:

v_f = 0 + (2,0 m/s²)(10,0 s)

vf = 20,0 m/s

Entre t = 10,0 s y t = 15,0 s la aceleración es cero, por lo tanto durante ese periodo de tiempo la velocidad se mantiene constante:

v = 20,0 m/s

Entre t = 15,0 s y t = 20,0 s la aceleración es – 3 m/s² y por lo tanto la velocidad cambia a:

v_f = 20,0 m/s + (- 3 m/s²)(5,0 s)

vf = 5 m/s

(b)   Recordemos que la posición final de una particular en el tiempo t bajo aceleración constante, está dada por la ecuación:

xf = xi + (vxi)(t) + (½)(ax)(t2)

Durante los primeros 10 segundos la partícula habrá recorrido:

x_f = 0 + (0)(10,0 s) + (½)(2 m/s²)(10,0 s)²

x_f = 100 m

Durante los siguientes cinco segundos, la partícula se encontrará a:

x_f = 100 m + (20,0 m/s)(5,0 s) + (½)(0)(5,0 s)²

x_f = 200 m

Durante los últimos 5 segundos la partícula se encontrará a:

x_f = 200 m + (20,0 m/s)(5,0 s) + (½)(- 3 m/s²)(5,0 s)²

xf = 262,5 m

No se olviden de que si tienen alguna duda o desean hacer alguna consulta, pueden escribirnos a jwzq2005@gmail.com

Cuando alguien dice estar de acuerdo, en principio, en hacer algo, quiere decir que no tiene la menor intención de hacerlo.

BISMARCK, Otto von

Movimiento en una dimensión - Aceleración

11.     Una superbola de 50,0 gr. que se desplaza a 25,0 m/s bota en una pared de ladrillo y rebota a 22,0 m/s. Una cámara de alta velocidad registra este evento. Si la superbola está en contacto con la pared durante 3,50 ms., ¿cuál es la magnitud de la aceleración promedio de la superficie durante este intervalo? (Nota: 1 ms = 10^-3 s.)

Tomemos como dirección positiva la dirección hacia la izquierda y perpendicular a la pared.

Por lo tanto la aceleración promedio en  este intervalo de tiempo está dirigida hacia la izquierda y es perpendicular a la pared.

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Los heraldos negros

Hay golpes en la vida, tan fuertes...¡Yo no sé!

Golpes como del odio de Dios; como si ante ellos,

la resaca de todo lo sufrido

se empozara en el alma... ¡Yo no sé!

Son pocos; pero son... Abren zanjas oscuras

en el rostro más fiero y en el lomo más fuerte.

Serán tal vez los potros de bárbaros Atilas;

o lo heraldos negros que nos manda la Muerte.

Son las caídas hondas de los Cristos del alma,

de alguna fe adorable que el Destino blasfema.

Esos golpes sangrientos son las crepitaciones

de algún pan que en la puerta del horno se nos quema.

Y el hombre... Pobre... ¡pobre! Vuelve los ojos, como

cuando por sobre el hombro nos llama una palmada;

vuelve los ojos locos, y todo lo vivido

se empoza, como charco de culpa, en la mirada.

Hay golpes en la vida, tan fuertes... ¡Yo no sé!

Cesar Vallejo

Velocidad y rapidez instantáneas

10.     Una liebre y una tortuga compiten en una carrera sobre una pista de 1,000 km de largo. La tortuga avanza lentamente, en línea recta y de modo uniforme, a una rapidez máxima de 0,200 m/s hacia la línea de meta. La liebre corre a su máxima rapidez de 8,00 m/s hacia la meta, una distancia de 0,800 km., y luego se detiene a molestar a la tortuga. ¿qué tan cerca de la meta puede la liebre dejar que la tortuga se aproxime antes de reanudar la carrera, que la tortuga gana en un final de fotografía? Suponga que cuando, cuando corren, ambos animales se mueven de modo uniforme a su rapidez respectiva máxima.

Como la liebre se detiene después de haber recorrido 0,800 km, lo que le faltará recorrer será:

∆x = 1,000 km – 0,800 km

∆x = 0,200 km (1000 m / 1 km)

∆x = 200 m

Para recorrer esta distancia la liebre necesita de un tiempo de:

∆t = ∆x / v_l

∆t = (200 m) / (8,00 m/s)

∆t = 25 s

Para que la tortuga pueda ganar, la liebre tiene que permitirle avanzar hasta que su distancia a la meta sea igual a la que ella pueda recorrer en ese tiempo:

∆x = (∆t)( v_t)

∆x = (25 s)(0,200 m/s)

∆x = 5,00 m

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No hay en la vida de nadie un día que no tenga su importancia.

Anónimo

Velocidad y rapidez instantáneas

9.     Encuentre la velocidad instantánea de la partícula descrita en la figura P2.3 en los siguientes tiempos: (a) t = 1,0 s. (b) t = 3,0 s. (c) t = 4,5 s. y (d) t = 7,5 s.

Recordemos que la velocidad instantánea en un punto determinado, está definida como la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto, es decir:

(a)  Por datos del gráfico y del ejercicio:

t₁ = 0           t₂ = 1,0 s

x₁ = 0           x₂ = 5,00 m

(b)  Por datos del gráfico y del ejercicio:

t₁ = 2,0 s               t₂ = 4,0 s

x₁ = 10,00 m           x₂ = 5,00 m

(c)  Por datos del gráfico y del ejercicio:

t₁ = 4,0 s               t₂ = 5,0 s

x₁ = 5,00 m             x₂ = 5,00 m

(d)  Por datos del gráfico y del ejercicio:

t₁ = 7,0 s               t₂ = 8,0 s

x₁ = - 5,00 m          x₂ = 0

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No abras los labios si no estás seguro de que lo que vas a decir es más hermoso que el silencio.

PROVERBIO ÁRABE

Velocidad y rapidez instantáneas

8.     (a) Utilice los datos del problema 1 para construir una gráfica suave de posición contra tiempo. (b) Con la construcción de tangentes a la curva x(t), encuentre la velocidad instantánea del auto en varios instantes. (c) Grafique la velocidad instantánea contra el tiempo y, de esta, determine la aceleración promedio del auto. (d) ¿Cuál fue la velocidad inicial del auto?

t(s)	0	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0
x(m)	0	2,3	9,2	20,7	36,8	57,5

(a)  La figura formada por los puntos dados se semeja a la mitad de una parábola.

Recordemos que la ecuación de una parábola vertical con vértice en (0,0) es:

x = (k)(t)²

Para t = 1,0 y x = 2,3, tendremos:

(2,3) = (k)(1,0)²

k = 2,3

Por lo tanto la ecuación de nuestra parábola será;

x = (2,3)(t)²     para: t ≥ 0

La ecuación de la recta tangente en algún punto de nuestra parábola estará dada por:

(x + x_i) = (2k)(t_i)(t)

(x + x_i) = (4,6)(t_i)(t)

x = (4,6)(t_i)(t) – (x_i)

Donde la pendiente de la recta esta dada por:

pendiente = (4,6)(t_i)

(b)   Recordemos que la velocidad instantánea en un punto determinado, está definida como la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto, es decir:

Para t₁ = 1,0 y x₁ = 2,3

x = (4,6)(t_i)(t) – (x_i)

x = (4,6)(1,0)(t) – (2,3)

x = (4,6)(t) – 2,3

Por lo tanto:                         

v = 4,6 m/s

Para t₂ = 2,0 y x₂ = 9,2

x = (4,6)(t_i)(t) – (x_i)

x = (4,6)(2,0)(t) – (9,2)

x = (9,2)(t) – 9,2

Por lo tanto:                         

v = 9,2 m/s

Para t₃ = 3,0 y x₃ = 20,7

x = (4,6)(t_i)(t) – (x_i)

x = (4,6)(3,0)(t) – (20,7)

x = (13,8)(t) – 20,7

Por lo tanto:                         

v = 13,8 m/s

Para t₄ = 4,0 y x₄ = 36,8

x = (4,6)(t_i)(t) – (x_i)

x = (4,6)(4,0)(t) – (36,8)

x = (18,4)(t) – 36,8

Por lo tanto:                         

v = 18,4 m/s

Para t₅ = 5,0 y x₅ = 57,5

x = (4,6)(t_i)(t) – (x_i)

x = (4,6)(5,0)(t) – (57,5)

x = (23,0)(t) – 57,5

Por lo tanto:                         

v = 23,0 m/s

(c)   Recordemos que se define la aceleración media a_m como el cambio de velocidad en un intervalo de tiempo.

a_m = ∆v / ∆t

am = 4,6 m/s2

(d)   La velocidad esta definida como:

v = (4,6)(t_i)

Para t = 0

v = 0

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Es fácil cambiar el curso de los ríos y las montañas, pero difícil cambiar la naturaleza de un hombre.

PROVERBIO CHINO

Velocidad y rapidez instantáneas

7.     En la figura P2.7 se ilustra una gráfica de posición-tiempo para una partícula que se mueve a lo largo del eje x. (a) Encuentre la velocidad promedio en el intervalo t = 1,50 s. a t = 4,00 s. (b) Determine la velocidad instantánea en t = 2,00 s. al medir la pendiente de la tangente que se ve en la gráfica. (c) ¿En qué valor de t es cero la velocidad?

(a)  Por datos del gráfico y del ejercicio:

t_i = 1,5 s                t_f = 4,0 s

x_i = 8,25 m             x_f = 2,00 m

(b)  Recordemos que la velocidad instantánea en un punto determinado, está definida como la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto, es decir:

Seleccionemos dos puntos de la recta tangente para hallar la velocidad instantánea en t₂ = 2,00 s:

t₁ = 3,60 s                   t₂ = 2,00 s

x₁ = 0                         x₂ = 6,00 m

v = - 3,75 m/s

(c)  La velocidad instantánea será cero, cuando la pendiente de la recta tangente a la curva sea cero, es decir la recta sea paralela al eje del tiempo. Esto ocurre cuando:

t = 4 s

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La experiencia del pasado, si no cae en el olvido, sirve de guía para el futuro.

PROVERBIO CHINO

Velocidad y rapidez instantáneas

6.     La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje x varía en el tiempo de acuerdo a la expresión x = 3 t², donde x está en metros y t es en segundos. Evalúe su posición (a) en t = 3,00 s. y (b) en 3,00 s. + ∆t. (c) Evalúe el límite ∆x/∆t cuando ∆t se aproxima a cero, para hallar la velocidad en t = 3,00 s.

(a) En cualquier instante de tiempo t_i, la posición de la partícula está dada por:

x_i = (3,00 m/s²)( t_i)²

Por lo tanto, para t_i = 3,00 s la posición será:

x_i = (3,00 m/s²) (3,00 s)²

xi = 27 m

(b) Cuando t_f = 3,00 s + ∆t

La posición de la partícula estará dada por:

x_f = (3,00 m/s²)( t_f)²

x_f = (3,00 m/s²) (3,00 s + ∆t)²

Desarrollando tendremos:

x_f = (3,00 m/s²) [9,00 + (6,00)(∆t) + ∆t²] s²

xf = [27,00 + (18,00)(∆t) + (3,00)(∆t2)]m

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El que de joven no es acucioso, llegado a viejo en vano se lamentará.

PROVERBIO CHINO

Movimiento en una dimensión

5.     Una persona camina primero a una rapidez constante de 5,00 m/s a lo largo de una recta del punto A al punto B, y luego regresa a lo largo de la línea de B a A a una rapidez constante de 3,00 m/s. ¿Cuál es (A) su rapidez promedio en todo el viaje? (b) ¿cuál es su velocidad promedio en todo el viaje?

(a) Recordemos que la rapidez promedio esta definida de la siguiente manera:

Llamemos:

d = Distancia entre A y B en metros

t₁ = Tiempo empleado para ir de A hacia B con una rapidez de 5,00 m/s

t₂ = Tiempo empleado para ir de B hacia A con una rapidez de 3,00 m/s

Por lo tanto:

(t₁) = d / (5,00 m/s)

(t₁) = d / (3,00 m/s)

La rapidez promedio será:

(b) Debido a que la persona inicia y termina su caminata en el mismo punto A, esto significa que su desplazamiento es cero.

∆x = 0

Por lo tanto:

vm = 0

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El amor verdadero no espera a ser invitado, antes él se invita y se ofrece primero.

LEÓN, Fray Luis de

Movimiento en una dimensión

4.     Una partícula se mueve de acuerdo a la ecuación x = 10 t², donde x está en metros y t es en segundos. (a) Encuentre la velocidad promedio para el intervalo de 2,00 s. a 3,00 s. (b) Encuentre la velocidad promedio para el intervalo de 2,00 s. a 2,10 s.

Hagamos un cuadro para hallar las distancias:

t	(s)	2	2,1	3
x = 10 t2	(m)	40	44,1	90

(a)   Por datos del ejercicio:

t_i = 2 s                   t_f = 3 s

x_i = 40 m                x_f = 90 m

(b)   Por datos del ejercicio:

t_i = 2 s                   t_f = 2,1 s

x_i = 40 m                x_f = 44,1 m

No se olviden de que si tienen alguna duda o desean hacer alguna consulta, pueden escribirnos a jwzq2005@gmail.com

Aquél que obtiene una victoria sobre otro hombre es fuerte, pero quien obtiene una victoria sobre sí mismo es poderoso.

LAO TSE

Movimiento en una dimensión

3.     En la figura P2.3 se ilustra la gráfica de posición contra tiempo para cierta partícula que se mueve a lo largo del eje x. Encuentre la velocidad promedio en los intervalos (a) 0 a 2 s. (b) 0 a 4 s. (c) 2 s. a 4 s. (d) 4 s. a 7 s. (e) 0 a 8 s.

(a)   Por datos del ejercicio:

t_i = 0            t_f = 2 s

x_i =  0          x_f = 10 m

(b)   Por datos del ejercicio:

t_i = 0            t_f = 4 s

x_i =  0          x_f = 5 m

(c)   Por datos del ejercicio:

t_i = 2 s                   t_f = 4 s

x_i = 10 m                x_f = 5 m

(d)   Por datos del ejercicio:

t_i = 4 s                   t_f = 7 s

x_i = 5 m                 x_f = - 5 m

(e)   Por datos del ejercicio:

t_i = 0 s                   t_f = 8 s

x_i = 0                    x_f = 0

No se olviden de que si tienen alguna duda o desean hacer alguna consulta, pueden escribirnos a jwzq2005@gmail.com

Si das pescado a un hombre hambriento lo nutres durante una jornada. Si le enseñas a pescar, le nutrirás toda la vida.

LAO TSE