9 oct. 2009

Sistema de dos ecuaciones de segundo grado

Este ejercicio que nos han enviado sobre sistema de dos ecuaciones cuadráticas, nos mostrará como resolverlas fácilmente.
¿Como se resuelve esto?
x y = 160
x2 + y2 = 400
Los sistemas de dos ecuaciones de segundo grado son de tipo no lineal, y para su resolución se usan los procedimientos aplicados en los sistemas de primer grado o lineales
  • Por igualación, se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan los resultados. En la ecuación resultante (que puede ser de segundo grado, bicuadrada o irracional), se obtienen las raíces de la segunda incógnita, que se sustituyen en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar las soluciones de la otra incógnita.
  • Por sustitución, se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra. Se resuelve entonces la ecuación resultante (cuadrática, bicuadrada o irracional) y se calculan las raíces.
  • Por reducción, se multiplican las ecuaciones por coeficientes o por las variables hasta conseguir que la suma (o resta) de las dos ecuaciones equivalentes que resultan permita anular una de las incógnitas. Se resuelve después la ecuación (cuadrática, bicuadrada o irracional) resultante, y se calculan las raíces.
Como es frecuente que, en alguno de los pasos de la resolución, se haya tenido que elevar al cuadrado alguna de las incógnitas, con lo que se habrán introducido así soluciones «falsas ». Es imprescindible comprobar todas y cada una de las parejas de raíces o soluciones obtenidas para las incógnitas en las ecuaciones originales del sistema. Siempre habrá que desechar alguno de estos pares, si no cumple la igualdad.
x2 + y2 = 400 es la de una circunferencia con centro en (0,0) y radio 20.
x y = 160 es la de una hipérbola rectangular.
El gráfico de estas ecuaciones será el siguiente:


Como puede observarse las dos gráficas se cortan en cuatro puntos, y el conjunto solución del sistema tiene cuatro elementos.
Utilizaremos primero la ecuación: xy = 160
Por lo tanto: x = 160/y ……………………….I
Reemplazamos este valor en la ecuación: x² + y² = 400
(160 / y)² + y² = 400
25600 / y² + y² = 400
Multiplicamos por y²:
25600 + y4 = 400y²
y4 - 400y² + 25600 = 0
(y² - 320)(y² - 80) = 0 …………….II
La ecuación II se cumple sí:
y² - 320 = 0
y² = 320
Por lo tanto los valores que puede tomar son:
y1 = 8√5
y2 = - 8√5
También la ecuación II se cumple sí:
y² - 80 = 0
y² = 80
Por lo tanto los valores que puede tomar son:
y3 = 4√5
Y4 = - 4√5
Los valores que puede tomar x lo obtendremos reemplazando valores en I:
Para y1 = 8√5
x1y1 = 160
x1 = 160 / 8√5
x1 = 160√5 / 40
x1 = 4√5
Para y2 = - 8√5
x2y2 = 160
x2 = 160 / -8√5
x2 = 160√5 / -40
x2 = -4√5
Para y3 = 4√5
x3y3 = 160
x3 = 160 / 4√5
x3 = 160√5 / 20
x3 = 8√5
Para y4 = -4√5
x4y4 = 160
x4 = 160 / -4√5
x4 = 160√5 / -20
x4 = -8√5
RESPUESTA:
A(8√5, 4√5)
B(4√5, 8√5)
C(-8√5, -4√5)
D(-4√5, -8√5)
Si tuvieran alguna consulta adicional u otro ejercicio en el que necesiten ayuda, mi e-mail es jwzq2005@gmail.com
La inteligencia consiste no sólo en el conocimiento, sino también en la destreza de aplicar los conocimientos en la práctica.
ARISTÓTELES