Teorema de Apolonio sobre la mediana de un triángulo rectángulo

El siguiente ejercicio nos permitirá redescubrir el teorema de Apolonio sobre la mediana en un triángulo.

Grafiquemos nuestro ejercicio, añadiendo en la hipotenusa el punto D que divide a la hipotenusa en dos partes iguales (CD es mediana) y el punto X de tal forma que CX sea la altura del triángulo con respecto al vértice C.

Lo que nos piden es calcular el valor de la siguiente suma (S):

S = CM² +CN² + MN²

Para solucionar este ejercicio, redescubriremos el teorema de Apolonio.

Por condiciones del ejercicio:

AM = MN = NB = (1/3) AB = (1/3) c

Por construcción y propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo:

AD = DB = CD = (1/2) AB = (1/2) c

De aquí:

AM + DM = DN + NB ===> DM = DN = (1/2) MN = (1/6) c

Por lo tanto CD es mediana del triángulo MCN.

En el triángulo rectángulo CXM:

CM² = CX² + MX²

CM² = CX² + (DM - DX)²

CM² = CX² + DM² + DX² – (2)(DM)(DX) ……………I

En el triángulo rectángulo CXN

CN² = CX² + NX²

CN² = CX² + (DN + DX)²

CN² = CX² + DN² + DX² + (2)(DN)(DX) …………II

Sabiendo que:

CD² = CX² + DX²

DM = DN = (1/2) MN

Sumamos I + II

CM² +CN² = (2)(CD²) + DM² + DN²

CM² +CN² = (2)(CD²) + (2)(MN/2)²

Esto es el Teorema de Apolonio:

CM2 +CN2 = (2)(CD2) + (MN2/2)

Sabemos que:

CD = (1/2) c

MN = (1/3) c

Por lo que:

CM² +CN² = (2)(c/2)² + [(c/3)²/2]

CM² +CN² = c²/2 + c²/18

CM² +CN² = (5/9) c²

Reemplazando valores en la ecuación S:

S = CM² +CN² + MN²

S = (5/9) c² + (c/3)²

S = (2/3) c2

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No puedo parar de trabajar. Tendré toda la eternidad para descansar.

TERESA de CALCUTA, Madre

Equilibrio cinético

Hoy día analizaremos un ejercicio sobre cinemática y rozamiento.

Para empezar dibujaremos nuestro diagrama de cuerpo libre:

El sistema coordenado se adapta al plano inclinado.

Se descompone el peso en sus dos componentes:

una en la dirección del plano inclinado (eje x):

P_x = 50 sen 53º = (50)(4/5) = 40 N

y la otra, perpendicular a dicho plano (eje y):

P_y = 50 cos 53º = (50)(3/5) = 30 N

Descomponemos también la fuerza F en sus dos componentes:

una en la dirección del plano inclinado (eje x):

F_x = 5k cos 53º = (5k)(3/5) = 3k N

y la otra, perpendicular a dicho plano (eje y):

F_y = 5k sen 53º = (5k)(4/5) = 4k N

La fuerza de fricción esta en el sentido contrario al movimiento del bloque y en la dirección del eje x:

f = µN

La reacción del plano inclinado hacia el bloque es una fuerza normal, perpendicular al plano.

Como el movimiento es uniforme, el bloque se encuentra en equilibrio cinético, por lo que se cumple que:

Σ F = 0

Σ F_x = 0 ==> 3k = 40 + f

3k = 40 + µN

3k = 40 + (0,5)N

N = 6k - 80

Σ F_y = 0 ==> N = 30 + 4k

Reemplazando el valor de N:

6k – 80 = 30 + 4k

2k = 110

K = 55

Pero:

F = 5k = (5)(55)

F = 55 N

Los hombres aprenden mientras enseñan.

SÉNECA, Lucio Anneo

Circunferencia tangente a dos rectas y que pasa por un punto

Un ejercicio sobre geometría analítica que nos ha llegado y nos parece interesante es el siguiente, espero que sea de utilidad para todos.

Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a las rectas

L₁ : x - 2y + 4 = 0;

L₂ : 2x – y – 8 = 0

y que pase por el punto A(4,1).

Para resolver los ejercicios donde intervienen circunferencias se debe conocer su centro y su radio.

Para encontrar esta información utilizaremos las distancias desde el centro de la circunferencia a los puntos o rectas que nos dan como dato.

Sea C(h,k) el centro de la circunferencia y r su radio.

A(4,1)

L₁ : x - 2y + 4 = 0

L₂ : 2x – y – 8 = 0

Grafiquemos los datos que nos dan:

Entonces:

r = |d(C, L₁)| = |d(C, L₂)| = |d(A,C)|

Trabajamos primero con la siguiente igualdad:

|d(C, L₁)| = |d(C, L₂)|

Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado:

Sí L : Ax + By + C = 0

y P(h,k)

El valor de la distancia no dirigida de dicha recta hasta el punto está dada por:

Reemplazando datos:

|h – 2k + 4| = |2h – k – 8|

De aquí:

h – 2k + 4 = 2h – k – 8 ==> k = 12 – h ………………I

o

h – 2k + 4 = - 2h + k + 8 ==> k = (3h – 4)/3 ………II

Ahora utilizaremos la ecuación del punto:

|d(C, L₁)| = |d(A,C)|

De donde:

5[(h – 4)² + (k – 1)²] = (h – 2k + 4)²

5(h² – 8h + 16 + k² – 2k + 1) = h² + 4k² – 4hk + 8h – 16k + 16

5h² – 40h + 80 + 5k² – 10k + 5 = h² + 4k² – 4hk + 8h – 16k + 16

4h² + k² + 4hk – 48h + 6k + 69 =0 ……………………………………..III

Reemplazando I en III se obtiene:

4h² + k² + 4hk – 48h + 6k + 69 =0

4h² + (12 – h)² + 4h(12 – h) – 48h + 6(12 – h) + 69 =0

4h² + 144 – 24h + h² + 48h – 4h² – 48h + 72 – 6h + 69 = 0

h² – 30h + 285 = 0

Luego: (I) Ç (III) = ф

Reemplazando II en III se obtiene:

4h² + k² + 4hk – 48h + 6k + 69 =0

4h² + [(3h - 4)/3]² + 4h[(3h - 4)/3] – 48h + 6[(3h - 4)/3] + 69 =0

36h² + 9h² – 24h + 16 + 36h² – 48h – 432h + 54 h – 72 + 621 =0

81h² – 450h + 565 = 0

Resolviendo obtenemos:

h₁ = 1.917

h₂ = 3.638

y

k = (3h - 4)/3

k₁ = 0.584

k₂ = 2.305

Luego los centros de las circunferencias que cumplen con las condiciones de nuestro ejercicio son:

C₁ (1.917, 0.584)

Y

C₂ (3.638, 2.305)

Y sus respectivos radios serán:

r₁ = |1.917 – 2(0.584) + 4 |/2.236

r₁ = 2.124

r₂ = |3.638 – 2(2.305) + 4 |/2.236

r₂ = 1.354

Por lo tanto, las ecuaciones de las dos circunferencias buscadas son:

CIRCULO ₁ : (x – 1.917)² + (y – 0.584)² = (2.124)²

CIRCULO ₂ : (x – 3.638)² + (y – 2.305)² = (1.354)²

El gráfico de nuestra solución sería el siguiente:

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Si ayudo a una sola persona a tener esperanza, no habré vivido en vano.

KING, Martin Luther

Hallar la función raíz

Este ejercicio sobre funciones nos ayudará a saber como encontrar la función inicial.

Sí f(2x - 1) = x² + 4

f(x) = ?

Dado que: f(2x - 1) = x² + 4. es una función cuadrática, entonces la f(x) también debe serlo y la podemos representar de la siguiente manera:

f(x)=az² + bz + c............I

Por lo tanto:

x² + 4 = az² + bz + c

cuando: z = 2x - 1

x² + 4 = a(2x – 1)² + b(2x – 1) + c

x² + 4 = 4ax² + a - 4ax + 2bx – b + c

x² + 4 = 4ax² + (2b - 4a)x + (a + c - b)

De aquí:

4a = 1

a = ¼

2b - 4a = 0

2b – 4(¼) = 0

2b – 1 = 0

b = ½

a + c – b = 4

(¼) + c – (½) = 4

c = 17/4

Reemplazando en I

f(x) = (¼)x² + (½)x + (17/4)

Simplificando:

f(x) = (x2 + 2x + 17)( ¼)

Esto lo pueden comprobar sustituyendo (2x - 1) por x en f(x)

El gráfico de las funciones es el siguiente:

Si tienen alguna consulta nuestro e-mail es jwzq2005@gmail.com

La virtud no habita en la soledad: debe tener vecinos.

CONFUCIO

Sistema de ecuaciones de segundo grado

Resolvemos ahora otro ejercicio que nos han solicitado:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

(3/x) + (x/y) = 0

2x - y = 3

Empezaremos despejando la “y” de la primera ecuación

3y + x² = 0

y = - x²/3

reemplazando en la segunda ecuación:

2x - (- x²/3) = 3

x² + 6x = 9

x² + 6x - 9 = 0

Resolviendo:

x = - 3 (1 + √2)

x = - 7.24264

ó

x = - 3 (1 - √2)

x = 1.24264

El gráfico de la ecuación solución es el siguiente:

Esto es todo por ahora, si tuvieran alguna consulta adicional u otro ejercicio en el que necesiten ayuda, nuestro e-mail es jwzq2005@gmail.com

Yo no enseño a quien no se esfuerza en comprender.

CONFUCIO

Descomposición de vectores

Continuamos con un ejercicio más de vectores.

Dos vectores A y B se suman para formar el vector C = A + B. la relación entre las magnitudes de estos vectores esta dada por:

¨ C_x=0

¨ C_y=A sen 60º + B sen 30º

¨ A_x y A_y apuntan en las direcciones positivas de X y de Y, respectivamente.

1.- ¿Cuál de los siguientes enunciados describe mejor la orientación de los vectores Ay B?

a. A y B apuntan en direcciones opuestas

b. A apunta 60º sobre el eje positivo de x mientras que B apunta 30º sobre le eje negativo de x.

c. A apunta 60º sobre el eje negativo de x mientras que B apunta 30º sobre le eje positivo de x

d. A apunta 60º bajo el eje positivo de x mientras que B apunta 30º sobre le eje positivo de y

2.- ¿Cómo compara la magnitud de A con la de B?

a. A=B

b. A=1.7B

c. A=0.4B

d. A=0.5B

e. A=0.7B

Para resolverlo primero tenemos que dibujar el ejercicio:

¨ A_x y A_y apuntan en las direcciones positivas de X y de Y, respectivamente.

Esto quiere decir que el vector A esta en el primer cuadrante

¨ C_y=A sen 60º + B sen 30º

C_y = A_y + B_y

A_y = A sen 60º ==> A_x = A cos 60º

El vector A forma un ángulo de 60º con el eje de las abcisas

B_y = B sen 30º ==> B_x = B cos 30º

El vector B forma un ángulo de 30º con el eje de las abcisas

¨ Cx=0

Esto quiere decir que las componentes A_x y B_x son iguales y de sentido contrario. Por lo tanto:

A_x = - B_x

Esto significa que el vector B está en el segundo cuadrante.

Con lo cual el gráfico de nuestro ejercicio será el siguiente:

1.- ¿Cuál de los siguientes enunciados describe mejor la orientación de los vectores Ay B?

a. A y B apuntan en direcciones opuestas

Falso. - Del gráfico del ejercicio podemos concluir que los vectores A y B no tienen direcciones opuestas, sino que forman entre sí un ángulo de 90º.

b. A apunta 60º sobre el eje positivo de x mientras que B apunta 30º sobre le eje negativo de x.

El vector A esta en el primer cuadrante

A_y = A sen 60º ==> A_x = A cos 60º

El vector B está en el segundo cuadrante.

B_y = B sen 30º ==> B_x = B cos 30º

Verdadero.- Ya que A_x = - B_x

c. A apunta 60º sobre el eje negativo de x mientras que B apunta 30º sobre le eje positivo de x

Falso.- dado que por condición del ejercicio A_x y A_y apuntan en las direcciones positivas de X y de Y, respectivamente.

d. A apunta 60º bajo el eje positivo de x mientras que B apunta 30º sobre le eje positivo de y

Falso.- dado que por condición del ejercicio A_x y A_y apuntan en las direcciones positivas de X y de Y, respectivamente.

2.- ¿Cómo compara la magnitud de A con la de B?

a. A=B

b. A=1.7B

c. A=0.4B

d. A=0.5B

e. A=0.7B

Dado que C_x = 0, entonces las componentes en x son iguales y de sentido contrario:

A cos 60º = B cos 30º

A(1/2) = B(√3)/2

A = B(√3)

A = 1.7 B

Respuesta: b

Si tuvieran alguna consulta adicional u otro ejercicio en el que necesiten ayuda, mi e-mail es jwzq2005@gmail.com con gusto los atenderé.

Los hombres aprenden mientras enseñan.

SÉNECA, Lucio Anneo

Suma y resta de vectores

Este es un ejercicio sobre vectores que vale la pena analizar:

La tabla da los componentes en las abcisas (x) y en las ordenadas (y) de dos vectores A y B

	x	y
A	15	10
B	15	-10

1.- ¿Cuál de los siguientes enunciados es correcto cuando hablamos de estos vectores?

A. el vector A-B no tiene componente en x

B. los dos vectores tienen diferentes magnitudes

C. A hace un ángulo de 56 con el eje positivo de x

D. B hace un ángulo de 34 con el eje positivo de y

E. el vector A+B hace un ángulo de 34 con el eje positivo de x

2.- Determine la magnitud del vector suma A+B

3.- Determine la magnitud del vector diferencia

Para resolverlo primero tenemos que dibujar el ejercicio:

1.- ¿Cuál de los siguientes enunciados es correcto cuando hablamos de estos vectores?

A. el vector A-B no tiene componente en x

A_x - B_x = 15 – 15 = 0 unidades

Verdadero. El vector A-B no tiene componente en x

B. los dos vectores tienen diferentes magnitudes

|A|² = |A_x|²+ |A_y|²

|A|² = (15)² + (10)²

|A|² = 325

|A| = 18.03 unidades

|B|² = |B_x|²+ |B_y|²

|B|² = (15)² + (-10)²

|B|² = 325

|B| = 18.03 unidades

Falso. Los dos vectores tienen la misma magnitud.

C. A hace un ángulo de 56º con el eje positivo de x

El ángulo que forma el vector A con el eje positivo de x esta dado por:

Tang θ = 10/15 = 0.667

Arc Tang(0.667) = 34º

Falso. El ángulo que forma el vector A con el eje positivo de x es 34º

D. B hace un ángulo de 34 con el eje positivo de y

El ángulo que forma el vector B con el eje positivo de x esta dado por:

Tang θ = -10/15 = - 0.667

Arc tang(- 0.667) = - 34º

Falso. El ángulo que forma el vector B con el eje positivo de x es - 34º

E. el vector A+B hace un ángulo de 34º con el eje positivo de x

A_y + B_y = 10 – 10 = 0 unidades

Falso. Al sumar las componentes en el eje Y de los vectores A y B vemos que se anulan, por lo tanto el ángulo que forma el vector A + B con el eje positivo de las x es 0º.

2.- Determine la magnitud del vector suma A+B

A_y + B_y = 10 – 10 = 0 unidades

A + B = A_x + B_x = 15 + 15 = 30 unidades sobre las abcisas

3.- Determine la magnitud del vector diferencia

A_x - B_x = 15 – 15 = 0 unidades

A - B = A_y + B_y = 10 + 10 = 20 unidades sobre las ordenadas

Si tuvieran alguna consulta adicional u otro ejercicio en el que necesiten ayuda, mi e-mail es jwzq2005@gmail.com

El verdadero heroísmo está en transformar los deseos en realidades y las ideas en hechos.

CASTELAO, Alfonso Rodríguez

Sistema de dos ecuaciones de segundo grado

Este ejercicio que nos han enviado sobre sistema de dos ecuaciones cuadráticas, nos mostrará como resolverlas fácilmente.

¿Como se resuelve esto?

x y = 160

x² + y² = 400

Los sistemas de dos ecuaciones de segundo grado son de tipo no lineal, y para su resolución se usan los procedimientos aplicados en los sistemas de primer grado o lineales

• Por igualación, se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan los resultados. En la ecuación resultante (que puede ser de segundo grado, bicuadrada o irracional), se obtienen las raíces de la segunda incógnita, que se sustituyen en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar las soluciones de la otra incógnita.
• Por sustitución, se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra. Se resuelve entonces la ecuación resultante (cuadrática, bicuadrada o irracional) y se calculan las raíces.
• Por reducción, se multiplican las ecuaciones por coeficientes o por las variables hasta conseguir que la suma (o resta) de las dos ecuaciones equivalentes que resultan permita anular una de las incógnitas. Se resuelve después la ecuación (cuadrática, bicuadrada o irracional) resultante, y se calculan las raíces.

Como es frecuente que, en alguno de los pasos de la resolución, se haya tenido que elevar al cuadrado alguna de las incógnitas, con lo que se habrán introducido así soluciones «falsas ». Es imprescindible comprobar todas y cada una de las parejas de raíces o soluciones obtenidas para las incógnitas en las ecuaciones originales del sistema. Siempre habrá que desechar alguno de estos pares, si no cumple la igualdad.

x² + y² = 400 es la de una circunferencia con centro en (0,0) y radio 20.

x y = 160 es la de una hipérbola rectangular.

El gráfico de estas ecuaciones será el siguiente:

Como puede observarse las dos gráficas se cortan en cuatro puntos, y el conjunto solución del sistema tiene cuatro elementos.

Utilizaremos primero la ecuación: xy = 160

Por lo tanto: x = 160/y ……………………….I

Reemplazamos este valor en la ecuación: x² + y² = 400

(160 / y)² + y² = 400

25600 / y² + y² = 400

Multiplicamos por y²:

25600 + y⁴ = 400y²

y⁴ - 400y² + 25600 = 0

(y² - 320)(y² - 80) = 0 …………….II

La ecuación II se cumple sí:

y² - 320 = 0

y² = 320

Por lo tanto los valores que puede tomar son:

y₁ = 8√5

y₂ = - 8√5

También la ecuación II se cumple sí:

y² - 80 = 0

y² = 80

Por lo tanto los valores que puede tomar son:

y₃ = 4√5

Y₄ = - 4√5

Los valores que puede tomar x lo obtendremos reemplazando valores en I:

Para y₁ = 8√5

x₁y₁ = 160

x₁ = 160 / 8√5

x₁ = 160√5 / 40

x₁ = 4√5

Para y₂ = - 8√5

x₂y₂ = 160

x₂ = 160 / -8√5

x₂ = 160√5 / -40

x₂ = -4√5

Para y₃ = 4√5

x₃y₃ = 160

x₃ = 160 / 4√5

x₃ = 160√5 / 20

x₃ = 8√5

Para y₄ = -4√5

x₄y₄ = 160

x₄ = 160 / -4√5

x₄ = 160√5 / -20

x₄ = -8√5

RESPUESTA:

A(8√5, 4√5)

B(4√5, 8√5)

C(-8√5, -4√5)

D(-4√5, -8√5)

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La inteligencia consiste no sólo en el conocimiento, sino también en la destreza de aplicar los conocimientos en la práctica.

ARISTÓTELES