22/9/2009

Dado tres puntos hallar ecuación de circunferencia

Trataremos ahora un ejercicio de geometría analitica.

Determinar la ecuación, radio y centro de la circunferencia que pasa por los puntos: A(-8;3), B(4;-5), M(-3;2).

Tomando los puntos 2 a 2, considerando las coordenadas del centro C(h,k):

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

distancia del centro C(h,k) a A(-8;3) = distancia del centro C(h,k) a B(4;-5)

(h + 8)² + (k – 3)² = (h – 4)² + (k + 5)²

h² + 16h + 64 + k² – 6k + 9 = h² – 8h + 16 + k² + 10k + 25

24h + 32 = 16k

3h + 4 = 2k

k = (3/2)h + 2……………I

distancia del centro a A(-8;3) = distancia del centro a M(-3;2)

(h + 8)² + (k – 3)² = (h + 3)² + (k - 2)²

h² + 16h + 64 + k² – 6k + 9 = h² + 6h + 9 + k² – 4k + 4

10h + 60 = 2k

k = 5h + 30……………..II

Igualando I = II

(3/2)h + 2 = 5h + 30

3h +4 = 10h + 60

7h = – 56

h = – 8

Reemplazando este valor en II

k = 5 (- 8) + 30

k = – 40 + 30>

k = – 10

Determinamos las coordenadas del centro C(h,k):

C(– 8; – 10)

Determinado el centro, determinamos el radio:

r2 = (x – h)2 + (y – k)2

radio = distancia del centro C(– 8; – 10) al punto A(-8;3)

r² = (–8 + 8)² + (–10 – 3)²

r² = 0² + 13²

r = 13

Podemos definir, entonces, la ecuación de la circunferencia en su forma general o canónica:

(x – h)² + (y – k)² = r²

x² + y² - 2hx - 2ky + (h² + k² – r²) = 0

Reemplazando los valores, nos queda:

(x + 8)² + (y + 10)² = 169

x² + y² + 16x + 20y – 5 = 0

Si tienen alguna consulta nuestro e-mail es jwzq2005@gmail.com

La ventaja de tener mala memoria es que se goza muchas veces con las mismas cosas.

NIETZSCHE, Friedrich