22 sept. 2009

Dado tres puntos hallar ecuación de circunferencia

Trataremos ahora un ejercicio de geometría analitica.
Determinar la ecuación, radio y centro de la circunferencia que pasa por los puntos: A(-8;3), B(4;-5), M(-3;2).
Tomando los puntos 2 a 2, considerando las coordenadas del centro C(h,k):
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
distancia del centro C(h,k) a A(-8;3) = distancia del centro C(h,k) a B(4;-5)

(h + 8)² + (k – 3)² = (h – 4)² + (k + 5)²
h² + 16h + 64 + k² – 6k + 9 = h² – 8h + 16 + k² + 10k + 25
24h + 32 = 16k
3h + 4 = 2k
k = (3/2)h + 2……………I
distancia del centro a A(-8;3) = distancia del centro a M(-3;2)

(h + 8)² + (k – 3)² = (h + 3)² + (k - 2)²
h² + 16h + 64 + k² – 6k + 9 = h² + 6h + 9 + k² – 4k + 4
10h + 60 = 2k
k = 5h + 30……………..II
Igualando I = II
(3/2)h + 2 = 5h + 30
3h +4 = 10h + 60
7h = – 56
h = – 8
Reemplazando este valor en II
k = 5 (- 8) + 30
k = – 40 + 30>
k = – 10
Determinamos las coordenadas del centro C(h,k):
C(– 8; – 10)
Determinado el centro, determinamos el radio:
r2 = (x – h)2 + (y – k)2
radio = distancia del centro C(– 8; – 10) al punto A(-8;3)
r² = (–8 + 8)² + (–10 – 3)²
r² = 0² + 13²
r = 13
Podemos definir, entonces, la ecuación de la circunferencia en su forma general o canónica:
(x – h)² + (y – k)² = r²
x² + y² - 2hx - 2ky + (h² + k² – r²) = 0
Reemplazando los valores, nos queda:
(x + 8)² + (y + 10)² = 169
x² + y² + 16x + 20y – 5 = 0
Si tienen alguna consulta nuestro e-mail es jwzq2005@gmail.com
La ventaja de tener mala memoria es que se goza muchas veces con las mismas cosas.
NIETZSCHE, Friedrich