27 sept. 2009

Funciones Compuestas

Veremos ahora un problema de función compuesta que nos han enviado para su análisis:
Si G(h(x) ) = x2 + 5x + 5
y G(x) = x2 + 3x + 1
Hallar h(x)
Tenemos que:
G(h(x)) = x2 + 5x + 5
Pero también nos dicen que:
G(h(x)) = h(x)2 + 3 h(x) + 1
Igualando estas ecuaciones, tendremos:
x2 + 5x + 5 = h(x)2 + 3 h(x) + 1 ………….I
Como es una ecuación de segundo grado, debe tener dos soluciones.
Una de esas soluciones puede ser:
h(x) = (x + a)…………….II
Reemplazando este valor en I
x2 + 5x + 5 = (x + a)2 + 3 (x + a) + 1
x2 + 5x + 5 = x2 + 2ax + a2 + 3x + 3a + 1
x2 + 5x + 5 = x2 + (3 + 2a)x + (a2 + 3a + 1)
De aquí:
3 + 2a = 5
a = 1
Reemplazando en II
h(x) = (x + 1)
Otra de las posibles soluciones será:
h(x) = (- x + b)…………….III
Reemplazando este valor en I
x2 + 5x + 5 = (– x + b)2 + 3 (– x + b) + 1
x2 + 5x + 5 = x2 – 2bx + b2 – 3x + 3b + 1
x2 + 5x + 5 = x2 + (– 3 – 2b)x + (b2 + 3b + 1)
De aquí:
3 2b = 5
b = – 4
Reemplazando en III
h(x) = (x 4)
Respuesta: La función h(x) puede tomar los siguientes valores:
h(x) = x + 1
h(x) = x 4
Como siempre si tuvieran alguna consulta, nuestro e-mail es jwzq2005@gmail.com
Tuve la fortuna de topar con libros que no eran demasiado puntillosos con el rigor lógico, pero que en cambio hacían resaltar con claridad las ideas principales.
EINSTEIN, Albert