27 de sept. de 2009

Funciones Compuestas

Veremos ahora un problema de función compuesta que nos han enviado para su análisis:

Si G(h(x) ) = x2 + 5x + 5

y G(x) = x2 + 3x + 1

Hallar h(x)

Tenemos que:

G(h(x)) = x2 + 5x + 5

Pero también nos dicen que:

G(h(x)) = h(x)2 + 3 h(x) + 1

Igualando estas ecuaciones, tendremos:

x2 + 5x + 5 = h(x)2 + 3 h(x) + 1 ………….I

Como es una ecuación de segundo grado, debe tener dos soluciones.

Una de esas soluciones puede ser:

h(x) = (x + a)…………….II

Reemplazando este valor en I

x2 + 5x + 5 = (x + a)2 + 3 (x + a) + 1

x2 + 5x + 5 = x2 + 2ax + a2 + 3x + 3a + 1

x2 + 5x + 5 = x2 + (3 + 2a)x + (a2 + 3a + 1)

De aquí:

3 + 2a = 5

a = 1

Reemplazando en II

h(x) = (x + 1)

Otra de las posibles soluciones será:

h(x) = (- x + b)…………….III

Reemplazando este valor en I

x2 + 5x + 5 = (– x + b)2 + 3 (– x + b) + 1

x2 + 5x + 5 = x2 – 2bx + b2 – 3x + 3b + 1

x2 + 5x + 5 = x2 + (– 3 – 2b)x + (b2 + 3b + 1)

De aquí:

3 2b = 5

b = – 4

Reemplazando en III

h(x) = (x 4)

Respuesta: La función h(x) puede tomar los siguientes valores:

h(x) = x + 1

h(x) = x 4

Como siempre si tuvieran alguna consulta, nuestro e-mail es jwzq2005@gmail.com

Tuve la fortuna de topar con libros que no eran demasiado puntillosos con el rigor lógico, pero que en cambio hacían resaltar con claridad las ideas principales.

EINSTEIN, Albert