Ecuaciones trigonométricas

Hoy veremos algo de trigonometría

Sí: 4 sen² 2x=1. Hallar los valores que puede tomar x

Podemos expresar la ecuación de la siguiente manera:

sen² 2x=1/4

(sen 2x)² =(1/2)²

Esto quiere decir:

sen 2x = ½ ……………..I

ó

sen 2x = – ½ ………….II

De I tenemos:

2x = arcsen(½)

Esto nos dá:

2x₁ = 30º ± k·360º

x₁ = 15º ± k·360º

ó

2x₂ = 150º ± k·360º

x₂ = 75º ± k·360º

De II tenemos:

2x = arcsen(– ½)

Esto nos dá:

2x₃ = 210º ± k·360º

x₃ = 105º ± k·360º

ó

2x₄ = 330º ± k·360º

x₄ = 165º ± k·360º

Respuesta: Los valores que puede tomar x son:

x₁ = 15º ± k·360º

x₂ = 75º ± k·360º

x₃ = 105º ± k·360º

x₄ = 165º ± k·360º

Para todo k perteneciente {0, 1, 2, 3, … , +infinito)

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Comienza a manifestarse la madurez cuando sentimos que nuestra preocupación es mayor por los demás que por nosotros mismos.

EINSTEIN, Albert

Funciones Compuestas

Veremos ahora un problema de función compuesta que nos han enviado para su análisis:

Si G(h(x) ) = x² + 5x + 5

y G(x) = x² + 3x + 1

Hallar h(x)

Tenemos que:

G(h(x)) = x² + 5x + 5

Pero también nos dicen que:

G(h(x)) = h(x)² + 3 h(x) + 1

Igualando estas ecuaciones, tendremos:

x² + 5x + 5 = h(x)² + 3 h(x) + 1 ………….I

Como es una ecuación de segundo grado, debe tener dos soluciones.

Una de esas soluciones puede ser:

h(x) = (x + a)…………….II

Reemplazando este valor en I

x² + 5x + 5 = (x + a)² + 3 (x + a) + 1

x² + 5x + 5 = x² + 2ax + a² + 3x + 3a + 1

x² + 5x + 5 = x² + (3 + 2a)x + (a² + 3a + 1)

De aquí:

3 + 2a = 5

a = 1

Reemplazando en II

h(x) = (x + 1)

Otra de las posibles soluciones será:

h(x) = (- x + b)…………….III

Reemplazando este valor en I

x² + 5x + 5 = (– x + b)² + 3 (– x + b) + 1

x² + 5x + 5 = x² – 2bx + b² – 3x + 3b + 1

x² + 5x + 5 = x² + (– 3 – 2b)x + (b² + 3b + 1)

De aquí:

– 3 – 2b = 5

b = – 4

Reemplazando en III

h(x) = (– x – 4)

Respuesta: La función h(x) puede tomar los siguientes valores:

h(x) = x + 1

h(x) = – x – 4

Como siempre si tuvieran alguna consulta, nuestro e-mail es jwzq2005@gmail.com

Tuve la fortuna de topar con libros que no eran demasiado puntillosos con el rigor lógico, pero que en cambio hacían resaltar con claridad las ideas principales.

EINSTEIN, Albert

Inversa de una matriz

El siguiente ejercicio es una aplicación sobre matrices, espero que sea interesante para ustedes.

Recordemos que para multiplicar matrices se cumple que:

Emplearemos esta fórmula para ir deduciendo la matriz Aⁿ.

Primero hallaremos A²

Ahora hallaremos A³

Por inducción matemática hallamos la matriz Aⁿ

Para hallar la inversa utilizaremos el método de Gauss:

Sea A una matriz cuadrada de orden 3. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A^-1, seguiremos los siguientes pasos:

1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, la matriz A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A^-1. Es decir, construiremos una matriz del tipo M = (I | A^-1)

3º Se deja tal y como está la primera fila de M, y debajo del primer término de la diagonal principal, a₁₁, que llamaremos pivote, realizamos operaciones para que se conviertan en ceros.

Ahora tomamos como pivote a₂₂ y realizamos las operaciones para que se transforme en 1.

5º A continuación realizamos las operaciones necesarias en la fila 3 para que el término a₃₂ sea cero

6º Finalmente la tercera fila se multiplica por n para que se convierta en 1.

Con esto hemos logrado construir una matriz del tipo M = (I | A^-1) y en consecuencia nuestra matriz solución es:

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La suerte favorece sólo a la mente preparada.

ASIMOV, Isaac

Probabilidad

Hoy veremos un ejercicio de estadística que puede ayudarlos.

En un gimnasio se aplicó una encuesta a 100 personas que asisten con una frecuencia de tres o más veces a la semana. Los resultados arrojados dicen que: 35 personas han tomado hormonas para tonificar su cuerpo, 25 consumen fibra para fortalecer su masa muscular y 45 consumen bebidas energéticas para aumentar su capacidad física. 5 de las personas toman hormonas, fibra y bebidas energéticas, 12 consumen fibra y hormonas, 18 toman hormonas y bebidas energéticas y 16 prefieren bebidas energéticas y fibra. Con base en la información obtenida resolver:

1. Elaborar el diagrama de Venn con la información obtenida en la encuesta.

Universo = a + b + c + d + e + f + g + h = 100 personas

Han tomado hormonas = a + b + d + e = 35 personas

Consumen fibra = b + c + e + f = 25 personas

Consumen bebidas energéticas = d + e + f + g = 45 personas

Consumen fibra y hormonas = b + e = 12 personas

Toman hormonas y bebidas energéticas = d + e = 18 personas

Toman bebidas energéticas y fibra = e + f = 16 personas

Toman hormonas, fibra y bebidas energéticas = e = 5 personas

Con este último valor podemos hallar las demás variables:

e = 5 personas

e + f = 16 personas

5 personas + f = 16 personas

f = 16 personas – 5 personas

f = 11 personas

d + e = 18 personas

d + 5 personas = 18 personas

d = 18 personas – 5 personas

d = 13 personas

b + e = 12 personas

b + 5 personas = 12 personas

b = 12 personas – 5 personas

b = 7 personas

d + e + f + g = 45 personas

13 personas + 5 personas + 11 personas + g = 45 personas

g = 45 personas – (13 personas + 5 personas + 11 personas)

g = 45 personas – 29 personas

g = 16 personas

b + c + e + f = 25 personas

7 personas + c + 5 personas + 11 personas = 25 personas

c = 25 personas – (7 personas + 5 personas + 11 personas)

c = 25 personas – 23 personas

c = 2 personas

a + b + d + e = 35 personas

a + 7 personas + 13 personas + 5 personas = 35 personas

a = 35 personas – (7 personas + 13 personas + 5 personas)

a = 35 personas – 25 personas

a = 10 personas

a + b + c + d + e + f + g + h = 100 personas

10 personas + 7 personas + 2 personas + 13 personas + 5 personas + 11 personas + 16 personas + h = 100 personas

h = 100 personas – (10 personas + 7 personas + 2 personas + 13 personas + 5 personas + 11 personas + 16 persona)

h = 100 personas – 64 personas

h = 36 personas

1. Si se selecciona una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no consuma ninguna de estas tres sustancias?

De acuerdo con nuestro diagrama de Venn:

No consumen ninguna de estas tres sustancias = h = 36 personas

Por la regla de Laplace sabemos que:

Por lo tanto:

p(h) = 36 /100

p(h) = 0,36

1.1. ¿Cuál es la probabilidad de que no consuma hormonas?

Han tomado hormonas = 35 personas

nh = No han tomado hormonas = 100 personas – 35 personas

nh = No han tomado hormonas = 65 personas

Por lo tanto:

p(nh) = 65 /100

p(nh) = 0,65

1.2. ¿Cuál es la probabilidad de que no consuma hormonas ni bebidas energéticas?

nhb = No Toman hormonas y bebidas energéticas = 100 personas – c – h

nhb = No Toman hormonas y bebidas energéticas = 100 personas – 2 personas – 36 personas

nhb = No Toman hormonas y bebidas energéticas = 100 personas – 38 personas

nhb = No Toman hormonas y bebidas energéticas = 62 personas

Por lo tanto:

p(nhb) = 62 /100

p(nhb) = 0,62

1.3. ¿Cuál es la probabilidad de que halla tomado hormonas pero no fibra?

hnf = Toman hormonas pero no fibra = a + d

hnf = Toman hormonas pero no fibra = 10 personas + 13 personas

hnf = Toman hormonas pero no fibra = 23 personas

Por lo tanto:

p(hnf) = 23 /100

p(hnf) = 0, 23

1.4. ¿Cuál es la probabilidad de que no consuma fibra?

Consumen fibra = 25 personas

nf = No consumen fibra = 100 personas – 25 personas

nf = No consumen fibra = 75 personas

Por lo tanto:

p(nf) = 75 /100

p(nf) = 0, 75

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Lo más atroz de las cosas malas de la gente mala es el silencio de la gente buena.

GANDHI, Mohandas

Dado tres puntos hallar ecuación de circunferencia

Trataremos ahora un ejercicio de geometría analitica.

Determinar la ecuación, radio y centro de la circunferencia que pasa por los puntos: A(-8;3), B(4;-5), M(-3;2).

Tomando los puntos 2 a 2, considerando las coordenadas del centro C(h,k):

(x – h)² + (y – k)² = r²

distancia del centro C(h,k) a A(-8;3) = distancia del centro C(h,k) a B(4;-5)

(h + 8)² + (k – 3)² = (h – 4)² + (k + 5)²

h² + 16h + 64 + k² – 6k + 9 = h² – 8h + 16 + k² + 10k + 25

24h + 32 = 16k

3h + 4 = 2k

k = (3/2)h + 2……………I

distancia del centro a A(-8;3) = distancia del centro a M(-3;2)

(h + 8)² + (k – 3)² = (h + 3)² + (k - 2)²

h² + 16h + 64 + k² – 6k + 9 = h² + 6h + 9 + k² – 4k + 4

10h + 60 = 2k

k = 5h + 30……………..II

Igualando I = II

(3/2)h + 2 = 5h + 30

3h +4 = 10h + 60

7h = – 56

h = – 8

Reemplazando este valor en II

k = 5 (- 8) + 30

k = – 40 + 30>

k = – 10

Determinamos las coordenadas del centro C(h,k):

C(– 8; – 10)

Determinado el centro, determinamos el radio:

r² = (x – h)² + (y – k)²

radio = distancia del centro C(– 8; – 10) al punto A(-8;3)

r² = (–8 + 8)² + (–10 – 3)²

r² = 0² + 13²

r = 13

Podemos definir, entonces, la ecuación de la circunferencia en su forma general o canónica:

(x – h)² + (y – k)² = r²

x² + y² - 2hx - 2ky + (h² + k² – r²) = 0

Reemplazando los valores, nos queda:

(x + 8)² + (y + 10)² = 169

x² + y² + 16x + 20y – 5 = 0

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“La ventaja de tener mala memoria es que se goza muchas veces con las mismas cosas.”

NIETZSCHE, Friedrich

Método de Eliminación Gaussiana

Hoy veremos como resolver un sistemas de ecuaciones lineales mediante el algoritmo de eliminación gaussiana.

Este sistema puede ser escrito en forma matricial omitiendo las variables, a esta matriz se le denomina matriz ampliada del sistema y es la siguiente:

Nuestro objetivo es obtener una matriz escalonada reducida que tenga el siguiente aspecto:

Para conseguirlo vamos a seguir el Método de Eliminación Gaussiana. Este algoritmo consiste en dos procesos:

a) Eliminación hacia adelante: Esta fase reduce el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular Superior:

1º Reordenamos las ecuaciones de forma tal que las ecuaciones que empiecen con 1 estén al inicio.

2º Seleccionamos el 1 con que empieza la primera fila como nuestro primer pivote. Luego debemos obtener 0 en la primera columna de las filas 2, 3 y 4, para esto realizamos las siguientes operaciones en cada uno de los casilleros de las filas:

Fila 2: F₂ – F₁

Fila 3: F₃ – 3F₁

Fila 4: F₄ – 2F₁

Esto nos da como resultado la siguiente matriz:

3º Para que la segunda fila empiece con 1, tenemos que multiplicar dicha fila por (-1/3)

Esto nos da como resultado la siguiente matriz:

4º Seleccionamos el 1 con que empieza la segunda fila como nuestro nuevo pivote. Luego debemos obtener 0 en la segunda columna de las filas 3 y 4, para esto realizamos las siguientes operaciones en cada uno de los casilleros de las filas:

Fila 3: F₃ – (–7)F₂ es decir F₃ + 7F₂

Fila 4: F₄ – (–5)F₂ es decir F₄ + 5F₂

Esto nos da como resultado la siguiente matriz:

5º Para que la tercera fila empiece con 1, tenemos que multiplicar dicha fila por (-1/7)

Esto nos da como resultado la siguiente matriz:

6º Seleccionamos el 1 con que empieza la tercera fila como nuestro nuevo pivote. Luego debemos obtener 0 en la tercera columna de la fila 4, para esto realizamos las siguientes operaciones en cada uno de los casilleros de la fila cuarta:

Fila 4: F₄ – (–5)F₃ es decir F₄ + 5F₃

Esto nos da como resultado la siguiente matriz:

7º Para que la cuarta fila empiece con 1, tenemos que multiplicar dicha fila por (7/12)

Finalmente, esto nos da como resultado la siguiente matriz escalonada reducida que deseábamos encontrar:

b) Sustitución hacia atrás:

Ya obtenido el sistema equivalente que es un sistema triangular superior este es más manejable y se puede resolver despejando primero T y este valor utilizarlo para obtener despejando la segunda incógnita hasta obtener el resultado completo del sistema.

Por lo tanto, de la cuarta fila se obtiene:

T = - 4

Reemplazando T en la tercera ecuación:

Reemplazando T en la segunda ecuación:

Reemplazando T, Z, Y en la primea ecuación:

Por lo tanto este sistema de ecuaciones tiene una sola solución:

{X; Y; Z; T}={8/3; -1/3; -2/3; -4}

Reemplazando valores:

Simplificando obtenemos:

19 = 19

–16 = – 16

9 = 9

– 7 = – 7

Con lo que queda demostrado que las soluciones al sistema de ecuaciones lineales que nos han dado es:

X = 8/3

Y = – 1/3

Z = – 2/3

T = – 4

Como pueden ver, resolver este tipo de ejercicios no es tan complicado sólo tenemos que poner cuidado en los signos de las operaciones que realizamos.

Espero haber sido lo suficientemente claro, si tuvieran alguna consulta nuestro e-mail es jwzq2005@gmail.com